Đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức cấu trúc mới – Đề 5 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.         b) Sai.             c) Sai.                  d) Đúng.

• Gọi $x$ (ml) là thể tích dung dịch nước muối $1,5\%$ và $y$ (ml) là thể tích nước cất $0\%$ ($x,y>0$).

Tổng thể tích dung dịch là $1000ml$ nên ta có phương trình $x+y=1000$ (1).

Do đó, ý a) là đúng.

• Tổng khối lượng muối trong dung dịch là $0,9\%$ của $1000ml$. Lượng muối trong dung dịch ban đầu là $1,5\%.x$ và trong nước cất là $0$.

Do đó ta có: $0,015x+0y=0,009.1000$ hay $0,015x=9$ (2)

Do đó, ý b) là sai.

• Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}x+y=1000\\ 0,015x=9\end{array}$.

Do đó, ý c) là sai.

• Giải phương trình $0,015x=9$ ta được $x=600$ (thỏa mãn).

Thay $x=600$ vào phương trình (1), được: $y=1000-600=400$ (thỏa mãn).

Vậy Lan cần pha $600\mathrm{ml}$ dung dịch nước muối $1,5\%$ và $400\mathrm{ml}$ dung dịch nước cốt $0\%$ để được dung dịch mong muốn.

Do đó, ý d) là đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.  b) Sai.              c) Sai.                  d) Đúng.

• Xét $$\Delta AKD$$ vuông tại $$D$$, ta có: $$\tan 36^{\circ }=\tan D=\frac{AK}{KD}$$O10-2024-GV154......... hay $$AK=AD\cdot \tan 36^{\circ }$$.

Do đó, ý a) là đúng.

• Ta có: $$FK=EH=CH-CE=25-5=20(\mathrm{m}).$$O10-2024-GV154.........

Do đó, ý b) là đúng.

• Từ $$\tan 36^{\circ }=\tan D=\frac{AK}{KD},$$ ta có $$AK=KD\cdot \tan 36^{\circ }=25\cdot \tan 36^{\circ }\approx 18,164(\mathrm{m}).$$

Ta có $$AH=AK+KH\approx 18,164+1,6=19,764\approx 20(\mathrm{m}).$$

Vậy độ dài tòa nhà chính là độ dài đoạn $$AH$$ và khoảng 20 m.

Do đó, ý c) là sai.

• Xét $$\Delta AFK$$ vuông tại $$K$$, ta có: $$\tan F=\frac{AK}{KF}\approx \frac{18,164}{20}$$O10-2024-GV154........., do đó $$\widehat{KFA}\approx 42^{\circ }.$$

Vậy góc nâng từ $$F$$ đến nóc tòa nhà khoảng $$42^{\circ }$$.

Vậy ý d) là đúng.

Hướng dẫn giải

a) Với $$a>0,a\ne 1$$, ta có:

$$T=\left(\frac{a\sqrt{a}-1}{a-\sqrt{a}}-\frac{a\sqrt{a}+1}{a+\sqrt{a}}\right):\frac{a+1}{a-1}$$

 $$=\left[\frac{a\sqrt{a}-1}{\left(\sqrt{a}-1\right)\sqrt{a}}-\frac{a\sqrt{a}+1}{\left(\sqrt{a}+1\right)\sqrt{a}}\right]\cdot \frac{a-1}{a+1}$$

 $$=\left[\frac{\left(a\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)\sqrt{a}}-\frac{\left(a\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)\sqrt{a}}\right]\cdot \frac{a-1}{a+1}$$

$$=\frac{\left(a\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)-\left(a\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)\sqrt{a}}\cdot \frac{a-1}{a+1}$$

$$=\frac{a^2+a\sqrt{a}-\sqrt{a}-1-a^2+a\sqrt{a}-\sqrt{a}+1}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)\sqrt{a}}\cdot \frac{a-1}{a+1}$$

$$=\frac{2a\sqrt{a}-2\sqrt{a}}{\left(a+1\right)\sqrt{a}}$$

$$=\frac{2\left(a-1\right)}{a+1}$$.

Vậy với $$a>0,a\ne 1$$ ta được $$T=\frac{2\left(a-1\right)}{a+1}$$.

b) Ta có: $$T=\frac{2\left(a-1\right)}{a+1}=\frac{2a-2}{a+1}=\frac{2a+2-4}{a+1}=1-\frac{4}{a+1}$$.

Do đó, để $$T\in \mathbb{Z}$$ thì $$\frac{4}{a+1}$$ là số nguyên.

Suy ra $$a+1$$ là Ư(4).

Vì điều kiện $$a>0,a\ne 1$$ nên ta có $$a+1=4$$ suy ra $$a=3.$$

Vậy $$a=3$$ là giá trị cần tìm.

Hướng dẫn giải

$O$ đư (ảnh 1)">

a) Có $$AP$$ là tiếp tuyến của đường tròn $$\left(O\right)$$ tại $$A$$ nên $$AP\perp AO$$.

         $$MP$$ là tiếp tuyến của đường tròn $$\left(O\right)$$ tại $$M$$ nên $$PM\perp MO$$.

Tam giác $$APO$$ vuông tại $$A$$ nên ba điểm $$A,P,O$$ cùng thuộc đường tròn đường kính $$PO$$. (1)

Tam giác $$POM$$ vuông tại $$M$$ nên ba điểm $$M,P,O$$ cùng thuộc đường tròn đường kính $$PO$$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm $$A,P,M,O$$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $$PO$$.

b) Trong $$\left(O\right)$$ có tam giác $$AMB$$ có $$OA=OB=OM=\frac{1}{2}AB$$ nên tam giác $$AMB$$ vuông tại $$M$$.

Do đó, $$\widehat{AMB}=90^{\circ }$$ hay $$AM\perp MB.$$ (*)

Mà xét $$\Delta PAO$$ và $$\Delta PMO$$ có: $$AO=OM=R$$ và $$PO$$ chung.

Do đó, $$\Delta PAO=\Delta PMO$$ (ch – cgv).

Suy ra $$PA=PM$$ và $$AO=AM$$ (hai cạnh tương ứng)

Do đó, $$PO$$ là đường trung trực của $$AM$$.

Suy ra $$AM\perp PO$$. (**)

Từ (*) và (**), có $$PO\parallel NB$$ nên $$\widehat{AOP}=\widehat{OBN}$$ (so le trong)

Xét $$\Delta PAO$$ và $$\Delta NOB$$ có:

$$AO=OB=R$$ (gt)

$$\widehat{PAO}=\widehat{OBN}$$ (so le trong)

Do đó, $$\Delta PAO=\Delta NOB$$ (cgv – gn)

Suy ra $$PO=NB$$ (hai cạnh tương ứng)

Xét tứ giác $$OBNP$$ có: $$PO=NB$$ và $$PO\parallel NB$$ nên $$OBNP$$ là hình bình hành.

Suy ra $$PN\parallel OB$$.

Mà $$ON\perp OB$$ nên $$ON\perp PN$$ do đó $$\widehat{PNO}=90^{\circ }$$.

Có $$\Delta MOA$$ cân tại $$O$$ (vì $$OA=OM$$) nên $$\widehat{OAM}=\widehat{AMO}$$ (3).

Có $$\widehat{AMO}=\widehat{PMN}$$ (cùng phụ với $$\widehat{AMP}$$) (4)

Và $$\widehat{MAO}=\widehat{PON}$$ (cùng phụ với $$\widehat{POA}$$) (5)

Từ (3), (4), (5) suy ra $$\widehat{PMN}=\widehat{PON}$$.

Mà $$\widehat{PMN}=\widehat{MPO}$$ (vì $$MN\parallel PO$$)

Suy ra $$\widehat{OPM}=\widehat{PON}$$ hay $$\widehat{POI}=\widehat{IPO}$$.

Vậy $$\Delta OPI$$ cân tại $$I.$$

c) Xét tứ giác $$APNO$$ có $$\widehat{PAO}=\widehat{AON}=\widehat{PNO}=90^{\circ }$$

Suy ra $$APNO$$ là hình chữ nhật.

Mà $$PO\cap AN=K$$ nên $$K$$ là trung điểm của $$PO.$$

Xét $$\Delta POI$$ cân tại $$I:$$ có $$K$$ là trung điểm $$PO$$ nên $$IK$$ là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

Do đó, $$IK\perp PO.$$

Xét $$\Delta JPO$$ có $$ON\perp PJ,PM\perp OJ,ON\cap PM=I$$ nên $$I$$ là trực tâm của $$\Delta JPO$$.

Suy ra $$IJ\perp PO$$.

Từ đây suy ra $$I,J,K$$ thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Chiều dài của đáy bể là $2x(\mathrm{m}).$

Diện tích đáy của bể là $2x^2\left({\mathrm{m}}^2\right).$

Chiều cao của bể là: $\frac{72}{2x^2}=\frac{36}{x^2}\left(\mathrm{m}\right)$.

Diện tích xung quanh của bể là: $2\cdot \frac{36}{x^2}\cdot \left(x+2x\right)=\frac{72\cdot 3x}{x^2}=\frac{216}{x}\left({\mathrm{m}}^2\right).$

Diện tích cần xây bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của bể, và bằng:

$\frac{216}{x}+2x^2\left({\mathrm{m}}^2\right).$

Do $x$ là chiều rộng của bể nên $x>0$, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$2x^2+\frac{216}{x}=2x^2+\frac{108}{x}+\frac{108}{x}\ge 3\sqrt[3]{2x^2\cdot \frac{108}{x}\cdot \frac{108}{x}}$

Suy ra $2x^2+\frac{216}{x}\ge 3\sqrt[3]{23328}\approx 85,72$

Dấu “=” xảy ra khi $2x^2=\frac{108}{x}=\frac{108}{x}$ hay $2x^3=108$, tức là $x=\sqrt[3]{54}\approx 3,78\mathrm{m}.$

Vậy muốn diện tích cần xây là tiết kiệm chi phí nhất thì $x\approx 3,78\mathrm{m}.$