Đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức (Tự luận) – Đề 1 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) – Xét biểu thức $A=\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-4}$.

Điều kiện xác định của biểu thức $A$ và $x\ge 0$ và $\sqrt{x}-4\ne 0$ hay $x\ge 0,x\ne 16.$

– Xét biểu thức $$B=\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+4}-\genfrac{}{}{0ex}{}{10\sqrt{x}-8}{16-x}$$.

Với $x\ge 0$, ta có:

⦁$$16-x=\left(4+\sqrt{x}\right)\left(4-\sqrt{x}\right)=-\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-4\right)$$.

⦁$x\ge 0$ nên $\sqrt{x}<span></span>\ge 0,$ suy ra $\sqrt{x}+4>0.$

Điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $x\ge 0$ và $\sqrt{x}-4\ne 0$ hay $x\ge 0,x\ne 16.$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức $A$ và biểu thức $B$ đều là $x\ge 0,x\ne 16.$

b) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=4-2\sqrt{3}.$

Vì $x=4-2\sqrt{3}=3-2\sqrt{3}+1$ nên $x={\left(\sqrt{3}-1\right)}^2$ và $\sqrt{x}=\sqrt{3}-1$.

Thay vào $A$ ta được $A=\frac{\sqrt{3}-1+2}{\sqrt{3}-1-4}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-5}$$=\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+5\right)}{-2}$$=-4-3\sqrt{3}$.

Vậy khi $x=4-2\sqrt{3}$ thì $A=-4-3\sqrt{3}$.

c) Với $x\ge 0,x\ne 16,$ ta có:

$$B=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+4}-\frac{10\sqrt{x}-8}{16-x}$$

$$=\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}+\frac{10\sqrt{x}-8}{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}$$

$$=\frac{x-6\sqrt{x}+8+10\sqrt{x}-8}{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}$$

$$=\frac{x+4\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}$$$$=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-4}$$.

d) Ta có $\frac{A}{B}=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-4}:\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-4}$ $=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-4}.\frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}}$$=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}$.

Phương trình $\frac{A}{B}=m$ trở thành $\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}=m$ hay $\sqrt{x}+2=m\sqrt{x}$.

Suy ra $\left(m-1\right)\sqrt{x}=2$.

Để phương trình có nghiệm ta cần có $m-1>0$ hay $m>1$, đồng thời $\frac{2}{m-1}\ne 16$ hay $m\ne \frac{9}{8}$.

Vậy, với $m>1$ và $m\ne \frac{9}{8}$ thì phương trình $\frac{A}{B}=m$ có nghiệm.

a) $$\frac{x}{x+3}-\frac{2}{x-3}=\frac{-2x-6}{x^2-9}$$

$$\frac{x\left(x-3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}-\frac{2\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}=\frac{-2x-6}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}$$

$$x\left(x-3\right)-2\left(x+3\right)=-2x-6$$

$$x^2-5x-6=-2x-6$$

$$x^2-3x=0$$

$x\left(x-3\right)=0$

$x=0$ hoặc $x-3=0$

$x=0$ (thỏa mãn) hoặc $x=3$ (không thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=0.$

c) $\sqrt{9x-9}-\sqrt{4x-4}+\sqrt{x-1}=16$     (ĐKXĐ: $x\ge 1)$

$\sqrt{9\left(x-1\right)}-\sqrt{4\left(x-1\right)}+\sqrt{x-1}=16$

$3\sqrt{x-1}-2\sqrt{x-1}+\sqrt{x-1}=16$

$2\sqrt{x-1}=16$

$\sqrt{x-1}=8$

$x-1=16$

$x=17$ (thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=17.$

2. Gọi $$x$$ (học sinh) là số học sinh nữ làm 3 tấm thiệp

$$y$$ (học sinh) là số học sinh nữ làm 5 tấm thiệp $\left(x,y\in \mathbb{N}\ast \right)$

⦁ Giả sử Bình là nam

Số nam tham gia nghiệm vụ là 34 học sinh; số nữ tham gia nhiệm vụ là 12 học sinh.

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}x+y=12\\ 3x+5y=34\end{array}$  (I)

Giải hệ phương trình (I) ta được $\{\begin{array}{l}x=13\\ y=-1\end{array}$ (loại)

Có thể kết luận bằng phương pháp loại suy.

⦁ Giả sử Bình là nữ

Số nam tham gia nghiệm vụ là 35 học sinh, số nữ tham gia nhiệm vụ là 11 học sinh.

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}x+y=11\\ 3x+5y=35\end{array}$ (II)

Giải hệ phương trình (II) ta được $\{\begin{array}{l}x=10\\ y=1\end{array}$ (TM)

Vậy Bình là nữ và có 1 học sinh nữ làm 5 tấm thiệp.

3. a) Gọi $x$ là số câu trả lời đúng $\left(0\le x\le 25,x\in \mathbb{N}\ast \right).$

Số câu trả lời sau là $25-x$ (câu).

Trả lời đúng $x$ câu hỏi được cộng $2x$ (điểm)

Trả lời sai $25-x$ câu hỏi bị trừ $25-x$ (điểm)

$3x-25\ge 25$Vì vậy, sau khi trả lời 25 câu thì người dự thi sẽ có số điểm là:

$2x-\left(25-x\right)=2x-25+x=3x-25$ (điểm).

Theo bài, để được dự thi tiếp vòng sau thì có số điểm từ 25 trở lên, nên ta có bất phương trình

$3x-25\ge 25$.

Vậy bất phương trình cần tìm là $3x-25\ge 25$.

b) Giải bất phương trình $3x-25\ge 25$, ta được:

 

$3x\ge 50$

$x\ge \frac{50}{3}(\approx 16,7)$.

Mà $0\le x\le 25,x\in \mathbb{N}\ast$ nên người ứng tuyển cần phải trả lời chính xác ít nhất thì mới được dự thi tiếp vòng sau.

a) Xét tam giác $DAH$ vuông tại $H$, ta có:

$\sin \widehat{DAH}=\genfrac{}{}{0ex}{}{DH}{AD},\tan \widehat{DAH}=\genfrac{}{}{0ex}{}{DH}{AH}.$

Hướng dẫn giải

b) Đặt $$DH=x\left(\mathrm{m}\right)$$, $$x>0$$.

Xét $$\Delta DHA$$ vuông tại $$H$$ có: $$\tan \widehat{DAH}=\frac{DH}{HA}$$ nên $$HA=\frac{DH}{\tan \widehat{DAH}}$$.

Xét $$\Delta DHB$$ vuông tại $$H$$ có: $$\tan \widehat{DBH}=\frac{DH}{HB}$$ nên $$HB=\frac{DH}{\tan \widehat{DBH}}.$$

Ta có: $$HB-HA=AB$$ suy ra $$\frac{DH}{\tan \widehat{DBH}}-\frac{DH}{\tan \widehat{DAH}}=56$$

$$x\left(\frac{1}{\tan 11^{\circ }}-\frac{1}{\tan 15^{\circ }}\right)=56$$

$$x=\frac{56}{\frac{1}{\tan 11^{\circ }}-\frac{1}{\tan 15^{\circ }}}\approx 39,65$$.

Khi đó $$CD=CH+DH\approx 1,5+39,65\approx 41,15\left(\mathrm{m}\right)$$.

Vậy chiều cao cột cờ Hà Nội khoảng $$41,15$$ m.

a) Xét đường tròn $$\left(O\right)$$ có: $$AB,AC$$ lần lượt là tiếp tuyến tại $$B,C$$ nên $$AB=AC$$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) .

Suy ra $$A$$ thuộc đường trung trực của $$BC$$.

Mà $$OB=OC=R$$ nên $$O$$ thuộc đường trung trực của $$BC$$

Do đó $$OA$$ là đường trung trực của $$BC$$ nên $$OA\perp BC$$ tại $$H$$.

b)  Xét $\Delta OBE$ cân tại $O$ (do $OB=OE=R)$ nên

$\widehat{OBE}=\widehat{OEB}=\frac{180^{\circ }-\widehat{BOE}}{2}=90^{\circ }-\frac{1}{2}\widehat{BOE}.$

c) Xét $\Delta AOB$ vuông tại $B,$ có:

$\cos \widehat{AOB}=\frac{OB}{OA}=\frac{R}{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)R}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4},$ suy ra $\widehat{AOB}=75^{\circ }.$

Do $$AB,AC$$ lần lượt là tiếp tuyến tại $$B,C$$ của đường tròn $\left(O\right)$ nên $$OA$$ là tia tiếp tuyến của $\widehat{BOC}$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra $\widehat{BOC}=2\widehat{AOB}=2\cdot 75^{\circ }=150^{\circ }.$

Do đó $\widehat{COD}=180^{\circ }-\widehat{BOC}=180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }$ nên

Diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính $OC,OD$ và cung nhỏ $CD$ là:

$S=\frac{\pi R^2\cdot 30}{360}=\frac{\pi R^2}{12}$ (đvdt).

Vậy diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính $OC,OD$ và cung nhỏ $CD$ là $\frac{\pi R^2}{12}$ (đvdt).

Đặt tên các điểm như hình vẽ. Đặt $CJ=x\left(x>0\right).$

Vì $$AJ//KB$$ (cùng vuông góc với $CI$) nên hai tam giác $AJC$ và $BKA$ là hai tam giác đồng dạng nên $\frac{JC}{KA}=\frac{JA}{KB}$ nên $\frac{x}{5}=\frac{12}{KB}$, suy ra $KB=\frac{60}{x}$

Diện tích khu nuôi cá là:

$S\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(x+5\right)\left(\frac{60}{x}+12\right)=\frac{1}{2}\left(60+12x+\frac{300}{x}+60\right)=\frac{150}{x}+6x+60$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

$$S\left(x\right)=\frac{150}{x}+6x+60\ge 2\sqrt{\frac{150}{x}\cdot 6x}+60=2\sqrt{900}+60=120.$$

Dấu  xảy ra khi $$\frac{150}{x}=6x$$ nên $x^2=25$, suy ra $x=5\mathrm{m}$

Vậy diện tích nhỏ nhất có thể giăng là $120{\mathrm{m}}^2.$