Đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức (Tự luận) – Đề 4 (có đáp án)

a) – Xét biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}\left(x+1\right)}{2\left(\sqrt{x}-1\right)}$.

Điều kiện xác định của biểu thức $A$ và $x\ge 0$ và $\sqrt{x}-1\ne 0$ hay $x\ge 0,x\ne 1.$

– Xét biểu thức $B=\frac{1}{x+\sqrt{x}}+\frac{2\sqrt{x}}{x-1}-\frac{1}{x-\sqrt{x}}$.

Với $x\ge 0$, ta có:

⦁ $x+\sqrt{x}=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)$; $x-\sqrt{x}=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right);$ $x-1=\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right).$

⦁ $x\ge 0$ nên $\sqrt{x}\ge 0,$ suy ra $\sqrt{x}+1>0.$

Điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $x\ge 0$ và $\sqrt{x}\ne 0,x-1\ne 0$ hay $x>0,x\ne 1.$

Vậy, điều kiện xác định của biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}\left(x+1\right)}{2\left(\sqrt{x}-1\right)}$ là $x\ge 0,x\ne 1$ và điều kiện xác định của biểu thức $B=\frac{1}{x+\sqrt{x}}+\frac{2\sqrt{x}}{x-1}-\frac{1}{x-\sqrt{x}}$ là $x>0,x\ne 1.$

b) Thay $x=\frac{1}{9}$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A,$ ta được:

$A=\frac{\sqrt{\frac{1}{9}}\left(\frac{1}{9}+1\right)}{2\left(\sqrt{\frac{1}{9}}-1\right)}=\frac{\frac{1}{3}.\frac{10}{9}}{2\left(\frac{1}{3}-1\right)}=\frac{\frac{10}{27}}{-\frac{4}{3}}=-\frac{5}{18}.$

Vậy $A=-\frac{5}{18}$ khi $x=\frac{1}{9}$.

c) Với $x>0,x\ne 1$, ta có:

$B=\frac{1}{x+\sqrt{x}}+\frac{2\sqrt{x}}{x-1}-\frac{1}{x-\sqrt{x}}$

$=\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}+\frac{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}$

$$=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}+\frac{2\sqrt{x}\cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$$

  $=\frac{\sqrt{x}-1+2x-\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}$$=\frac{2x-2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}$

$=\frac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}\left(x-1\right)}$$=\frac{2}{\sqrt{x}}$.

Vậy với $x>0,x\ne 1$ thì $B=\frac{2}{\sqrt{x}}$.

a) Điều kiện xác định: $x\ne 1$ và $x\ne -1$.

Ta có: $\frac{x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x-1}=\frac{8}{x^2-1}$

$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}-\frac{{\left(x+1\right)}^2}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{8}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$

$\frac{{\left(x-1\right)}^2-{\left(x+1\right)}^2}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{8}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$

${\left(x-1\right)}^2-{\left(x+1\right)}^2=8$

$\left(x-1+x+1\right)\left(x-1-x-1\right)=8$

$2x.\left(-2\right)=8$

$-4x=8$

    $x=-2$ (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là $x=-2$.

b) $0,5x+7\left(x-2\right)\le \frac{1}{2}x-1$

$0,5x+7x-14\le 0,5x-1$

$0,5x+7x-0,5x\le 14-1$

                      $7x\le 13$

                        $x\le \frac{13}{7}$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x\le \frac{13}{7}$.

c) $\sqrt{18x+9}-\sqrt{8x+4}+\frac{1}{3}\sqrt{2x+1}=4$ (ĐKXĐ: $x\ge -\frac{1}{2})$

$\sqrt{9\left(2x+1\right)}-\sqrt{4\left(2x+1\right)}+\frac{1}{3}\sqrt{2x+1}=4$

$3\sqrt{2x+1}-2\sqrt{2x+1}+\frac{1}{3}\sqrt{2x+1}=4$

$\frac{4}{3}\sqrt{2x+1}=4$

$\sqrt{2x+1}=3$

    $2x+1=9$

    $2x=8$

      $x=4$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm là $x=4$.

2. Gọi $$x,y$$ (người) lần lượt là số công nhân nam và nữ của tổ may đó $$\left(x,y\in \mathbb{N}\ast ;x,y<47\right)$$.

Vì tổ may gồm 47 công nhân nên $$x+y=47$$.     (1)

Vì mỗi công nhân nam may 8 chiếc áo, mỗi công nhân nữ may 7 chiếc áo, may được tổng cộng 350 chiếc áo nên ta có phương trình $$8x+7y=350$$.    (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $$\{\begin{array}{l}x+y=47\\ 8x+7y=350\end{array}$$.

Nhân cả hai vế của phương trình (1) với 7, ta được hệ phương trình mới là: $$\{\begin{array}{l}7x+7y=329\\ 8x+7y=350.\end{array}$$

Trừ từng vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất của hệ trên nên $$x=21$$ (thỏa mãn).

Thay $$x=21$$ vào phương trình (1), ta được: $$21+y=47$$ nên $$y=26$$ (thỏa mãn).

Vậy tổ có 26 công nhân nam và 21 công nhân nữ.

3. a) Gọi $x$ là số chiếc áo sơ mi trung bình mỗi tháng doanh nghiệp bán được $$\left(x\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right)$$.

Lợi nhuận của doanh nghiệp sau 12 tháng là:

$$12\cdot \left(350000x-410000000\right)$$ (đồng).

Để doanh nghiệp thu được ít nhất 1,38 tỉ đồng thì:

$$12\cdot \left(350000x-410000000\right)\ge 1380000000$$

Vậy bất phương trình cần tìm là $$12\cdot \left(350000x-410000000\right)\ge 1380000000$$.

b) Giải bất phương trình

$$12\cdot \left(350000x-410000000\right)\ge 1380000000$$

$$7x-8200\ge 2300$$

$$7x\ge 10500$$

$x\ge 1500$.

Mà $0\le x\le 25,x\in \mathbb{N}\ast$ nên người ứng tuyển cần phải trả lời chính xác ít nhất thì mới được dự thi tiếp vòng sau.

a) Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$, ta có: $\sin \widehat{ABC}=\frac{AC}{AB},\tan \widehat{ABC}=\frac{AC}{BC}.$

b) Theo đề bài, phần ngọn bị gãy $AB$ và phần gốc $AC$ có tỉ lệ $3:2$ hay $\frac{AB}{AC}=\frac{3}{2}$, suy ra $\frac{AC}{AB}=\frac{2}{3}$.

Theo câu a, ta có: $\sin \widehat{ABC}=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{3}$, suy ra $\alpha =\widehat{ABC}\approx 41^{\circ }49^{\prime }.$

Mà $\tan \widehat{ABC}=\frac{AC}{BC}$ nên $AC=BC\cdot \tan \widehat{ABC}\approx 5\cdot \tan 41^{\circ }49^{\prime }\approx 4,47(\mathrm{m}).$

Mà $\frac{AB}{AC}=\frac{3}{2}$, suy ra $AB=\frac{3}{2}AC\approx \frac{3}{2}\cdot 4,47=6,705(\mathrm{m}).$

Độ dài cây ban đầu là tổng của phần ngọn bị gãy $AB$ và phần gốc $AC$.

Vậy chiều cao ban đầu của cây khoảng: $$4,47+6,705=11,175\approx 11,18(\mathrm{m}).$$

a) ⦁ Xét đường tròn $$\left(O\right)$$ có $$AB,AC$$ là hai tiếp cắt nhau tại $$A$$ nên $$AB=AC$$(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Do đó $$A$$ thuộc đường trung trực $$BC$$.

Mặt khác, $$OB=OC=R$$ nên $$O$$ thuộc trung trực của đoạn thẳng $$BC$$.

Suy ra $OA$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BC$, do đó $$OA\perp BC$$ tại $$H$$.

⦁ Vì $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left(O\right)$ tại $B$ nên $AB\perp OB$ tại $B.$

Xét $$\Delta HAB$$ và $$\Delta BAO$$ có: $\widehat{AHB}=\widehat{ABO}=90^{\circ }$ và $\widehat{OAB}$ là góc chung.

Do đó $\Delta HAB\backsim \Delta BAO$ (g.g)

Suy ra $$\frac{HA}{BA}=\frac{AB}{AO}$$ hay $$AH\cdot AO=A{B}^2$$ (1).

Xét $\Delta OAB$ vuông tại $B,$ ta có: $$A{B}^2=A{O}^2-O{B}^2=A{O}^2-R^2$$ (định lí Pythagore). (2)

Lại có:

$$AM\cdot AN=\left(AO-OM\right)\left(AO+ON\right)$$

               $$=A{O}^2+AO\cdot ON-OM\cdot AO-OM\cdot ON$$

               $$=A{O}^2-OM\cdot ON$$$$=A{O}^2-R^2$$ (vì $OM=ON=R)$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $$AM\cdot AN=AH\cdot AO=A{O}^2-R^2.$$

b) ⦁ Ta có: $$CE//AB$$ (cùng vuông góc với $$BD$$)

Suy ra $$\frac{EK}{AB}=\frac{DE}{DB}$$ (hệ quả định lí Thalès).

Do đó $$EK.BD=DE.AB$$(∗).

⦁ Xét $\Delta BCD$ có $CO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $BD$ và $CO=BO=DO=R=\frac{BD}{2}$ (do $BD$ là đường kính) nên $\Delta BCD$ vuông tại $C.$

Ta có $BC\perp CD,BC\perp OA$ nên $CD//OA$, do đó $\widehat{AOB}=\widehat{CDE}$ (đồng vị)

Xét $$\Delta ABO$$ và $$\Delta CED$$ có: $\widehat{ABO}=\widehat{CED}=90^{\circ }$ và $\widehat{AOB}=\widehat{CDE}$

Do đó (g.g).

Suy ra $$\frac{AB}{CE}=\frac{BO}{ED}$$ hay $$CE.BO=DE.AB$$(∗∗).

Từ (∗) và (∗∗) suy ra $$EK.BD=CE.BO$$.

Mà $$BD=2BO$$, suy ra $$EK\cdot 2BO=CE.BO$$, suy ra $$2EK=CE$$.

Do đó $$K$$ là trung điểm của $$CE.$$

c) Xét $\Delta AOB$ vuông tại $B,$ có: $\cos \widehat{AOB}=\frac{OB}{OA}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2},$ suy ra $\widehat{AOB}=60^{\circ }.$

Do $$AB,AC$$ lần lượt là tiếp tuyến tại $$B,C$$ của đường tròn $\left(O\right)$ nên $$OA$$ là tia phân giác của $\widehat{BOC}$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra $\widehat{BOC}=2\widehat{AOB}=2\cdot 60^{\circ }=120^{\circ }.$

Do đó, số đo cung nhỏ $BC$ bằng $120^{\circ }$.

Suy ra, số đo cung lớn $BC$ là $360^{\circ }-120^{\circ }=240^{\circ }.$

Diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính $$OB,OC$$ và cung lớn $$BC$$ là

$S=\frac{\pi R^2\cdot 240}{360}=\frac{2\pi R^2}{3}$ (đơn vị diện tích).

Vậy diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính $$OB,OC$$ và cung lớn $$BC$$ là $\frac{2\pi R^2}{3}$ (đvdt).

Đặt $$AD=x\left(x>0\right)$$.

Ta có tứ giác $$ADME$$ có $$\widehat{ADE}=\widehat{DAE}=\widehat{AED}=90^{\circ }$$ nên $$ADME$$ là hình chữ nhật. Do đó, $$AD=EM=x.$$

Chứng minh được (g.g), từ đó ta có:

$$\genfrac{}{}{0ex}{}{EM}{AB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{CE}{CA}$$ hay $$\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{6}=\genfrac{}{}{0ex}{}{CE}{8}$$ suy ra $$CE=\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}x$$.

Ta có $$AE=AC-EC=8-\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}x$$.

Diện tích hình chữ nhật $$ADME$$ là:

$$S^{ADME}=AD.AE=x\left(8-\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}x\right)$$.

Ta có: $$x\left(8-\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}x\right)=-\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}{x}^2+8x=-\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\left(x^2-6x\right)$$

$$=-\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\left(x^2-6x+9\right)+12$$

$$=-\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}{\left(x-3\right)}^2+12$$.

Vì $${\left(x-3\right)}^2\ge 0$$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $$-\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}{\left(x-3\right)}^2\le 0$$với mọi $x\in \mathbb{R}$.

Do đó $$-\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}{\left(x-3\right)}^2+12\le 12$$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

Dấu “=” xảy ra khi $$x-3=0$$ khi $$x=3.$$

Khi đó $$D$$ là trung điểm của $$AB$$.

Suy ra $$M$$ là trung điểm của $$BC$$.

Vậy diện tích lớn nhất của $$ADME$$ bằng $$12{\mathrm{m}}^2$$ khi $$M$$ là trung điểm của $$BC$$.

Diện tích ao cá lớn nhất mà người đó có thể đào là $$12{\mathrm{m}}^2$$.