Đề thi cuối kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức (Tự luận) – Đề 3 (có đáp án)

Xét đồ thị hàm số $y=-\frac{x^2}{2}$.

a) Ta có $\frac{AB}{2}=4$.

Vậy hoành độ của $A$ và $B$ thứ tự là $-4$ và $4$.

b) Thay $x=4$ vào công thức $y=-\frac{x^2}{2}$, ta có: $y=-{\frac{4}{2}}^2$ nên $y=-8$.

Vậy chiều cao của cổng là $\left|-8\right|=8\left(\mathrm{m}\right)$.

Nửa chu vi của vườn là $\frac{280}{2}=140\left(\mathrm{m}\right)$.

Gọi $x\left(\mathrm{m}\right)$ là chiều dài của hình chữ nhật $\left(70<\mathrm{x}<140\right).$

Khi đó, chiều rộng của hình chữ nhật là: $140-x\left(\mathrm{m}\right)$.

 

a) Để thu gọn bảng dữ liệu trên thì nên chọn bảng tần số ghép nhóm vì trong bảng giá trị trên có nhiều giá trị khác nhau và mỗi giá trị lại xuất hiện ít lần.

b) Tần số tương ứng với các nhóm $\left[2,0;2,5\right)$; $\left[2,5;3,0\right)$; $\left[3,0;3,5\right)$; $$\left[3,5;4,0\right)$$; $\left[4,0;4,5\right)$ lần lượt là $m_1=9;m_2=7;m_3=7;$$m_4=7;m_5=2.$

Ta có bảng tần số ghép nhóm như sau:

Tổng số học sinh trong lớp là $n=9+7+7+7+2=32$.

a) Tần số tương đối của các nhóm $\left[2,0;2,5\right)$; $\left[2,5;3,0\right)$; $\left[3,0;3,5\right)$; $$\left[3,5;4,0\right)$$; $\left[4,0;4,5\right)$ lần lượt  lần lượt là:

$$f_1=\frac{9}{32}\cdot 100\%\approx 28,1\%$$; $$f_2=\frac{7}{32}\cdot 100\%\approx 21,9\%$$;

$$f_3=\frac{7}{32}\cdot 100\%\approx 21,9\%$$;$$f_4=\frac{7}{32}\cdot 100\%\approx 21,9\%$$; $$f_5=\frac{2}{32}\cdot 100\%\approx 6,2\%.$$

Ta có bảng tần số tương đối ghép nhóm như sau:

 

a) Ta có bảng sau:

Không gian mẫu là:

$$\Omega =\{\left(1,1\right);\left(1,2\right);\left(1,3\right);\left(1,4\right);\left(2,1\right);\left(2,2\right);\left(2,3\right);\left(2,4\right);\left(3,1\right);\left(3,2\right);\left(3,3\right);\left(3,4\right);$$ $$\left(4,1\right);\left(4,2\right);\left(4,3\right);\left(4,4\right)\}.$$

Do đó, số phần tử của $\Omega$ là 16.

b) Có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là $$A=\left\{\left(1,1\right);\left(1,3\right);\left(3,1\right);\left(3,3\right)\right\}.$$

Do đó, xác suất của biến cố $A$ là $P\left(A\right)=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}.$

b) Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố $B$ là $$B=\left\{\left(1,1\right);\left(1,2\right);\left(1,3\right);\left(2,1\right);\left(4,1\right)\right\}.$$

Do đó, xác suất của biến cố $B$ là $P\left(B\right)=\frac{5}{16}.$

ABCDEF có là đa giác đều không? (ảnh 1)">

a) Vì $CK\perp AK$ nên $\widehat{AKC}=90^{\circ }.$ Vì $CH\perp AB$ tại $$H$$ nên $\widehat{AHC}=90^{\circ }.$

Gọi $I$là trung điểm $AC$.

$\Delta AKC$có $KI$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $AC$ nên $KI=OA=OC=\frac{1}{2}AC.$

$\Delta AHC$ có $HI$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền$AC$ nên $HI=IA=IC=\frac{1}{2}AC.$

Do đó $IA=IK=IC=IH.$

Vì $$AHCK$$ là tứ giác nội tiếp nên  $\widehat{CHK}=\widehat{CAK}=\widehat{CAE}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $$KC).$$

Lại có $$ADCE$$nội tiếp nên $\widehat{CAE}=\widehat{CDE}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $$EC).$$

Từ đó suy ra $\widehat{CHK}=\widehat{CDE}$ nên $HK//DE$ (đpcm).

Do $HK//DE$, mà $$H$$ là trung điểm $$CD$$ (quan hệ vuông góc của đường kính $$AB$$ với dây $$CD$$ tại $$H).$$

Suy ra $$HK$$ là đường trung bình của tam giác $$CDF$$ nên $$K$$ là trung điểm $$FC$$.

Tam giác $$AFC$$ có $$AK$$ là đường cao đồng thời cũng là trung tuyến.

Do đó tam giác $$CAF$$là tam giác cân tại $$K$$ (đpcm).

Tam giác $$FAC$$ cân tại $$A$$ nên $$AF=AC.$$

Dễ thấy tam giác $$ACD$$ cân tại $$A$$ nên $$AC=AD$$.

Từ đó suy ra $$AF=AD$$ hay tam giác $$AFD$$ cân tại $$A$$, hạ $$DI\perp AF$$ .

Ta có $S_{AFD}=\frac{1}{2}DI\cdot AF=\frac{1}{2}DI\cdot AC$.

Do $$AC$$ không đổi nên $S_{AFD}$ lớn nhất khi và chỉ khi $$DI$$ lớn nhất.

Trong tam giác vuông $$AID$$ ta có:

$ID\le AD=AC$ hay $S_{AFD}=\frac{1}{2}DI\cdot AF=\frac{1}{2}DI\cdot AC\le \frac{A{C}^2}{2}$.

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi $I\equiv A$, khi đó $$\widehat{DAF}=90^{\circ }$$ nên tam giác $$ADF$$ vuông cân tại $$A$$, suy ra $\widehat{EBA}=\widehat{EDA}=45^{\circ }$ hay $$E$$ là điểm chính giữa cung $$AB.$$

Vậy để diện tích tam giác $$ADF$$ lớn nhất thì $$E$$ là điểm chính giữa cung $$AB.$$

Thể tích nước trong cốc là:

$V_1=\pi r^{2}h=\pi \cdot 12^2\cdot 10=1440\pi \left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3\right).$

Vậy thể tích nước trong cốc là $1440\pi \mathrm{c}{\mathrm{m}}^3.$

Thể tích quả cầu kim loại: $V_2=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 4^3=\frac{256}{2}\pi \left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3\right)$.

Thể tích quả cầu chính là thể tích nước dâng lên.

Ta có mực nước trong cốc tăng thêm: $\frac{256}{2}\pi :144\pi =\frac{16}{27}$ (cm).

Vậy mực nước trong cốc tăng thêm $\frac{16}{27}$ cm.