Đề thi giữa kì 1 Toán 9 Cánh diều cấu trúc mới – Đề 1 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

Đáp án:               a) Đúng.     b) Đúng.    c) Sai.        d) Sai.

Giải hệ phương trình đã cho bằng phương pháp thế như sau:

• Từ phương trình (2), ta có $y=2x+4$.

• Thay $y=2x+4$ vào phương trình (1), ta được:

$6x-3\left(2x+4\right)=-12$ hay $0x=0$.

• Phương trình trên có vô số nghiệm nên hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

• Nghiệm tổng quát của hệ phương trình đã cho là $\left(x;2x+4\right)$ với $x\in \mathbb{R}$ tùy ý.

Hướng dẫn giải

Đáp án:               a) Sai.        b) Đúng.    c) Sai.        d) Sai.

a) Sai. Ta có: $m\left(2x+1\right)<8$ nên $2mx+m-8<0$.

Bất phương trình đã cho là bất phương trình bậc nhất ẩn $x$ khi $2m\ne 0$ hay $m\ne 0$.

Do đó ý a) là sai.

b) Đúng. Khi $m=1,$ bất phương trình đã cho trở thành: $2x-7<0$ hay $2x<7$ nên $x<\frac{7}{2}$.

Như vậy, khi $m=1,$ bất phương trình đã cho có nghiệm là $x<\frac{7}{2}$. Do đó ý b) là đúng.

c) Sai. Khi $m=-1,$ bất phương trình đã cho trở thành: $-2x-9<0$ hay $-2x<9$ nên $x>-\frac{9}{2}$.

Như vậy, khi $m=-1,$ bất phương trình đã cho có nghiệm là $x>-\frac{9}{2}$. Do đó ý c) là sai.

d) Sai. Khi $m=-2,$ bất phương trình đã cho trở thành: $-4x-10<0$ hay $-4x<10$ nên $x>-\frac{5}{2}$.

Khi đó, bất phương trình có nghiệm nguyên nhỏ nhất là $-2$. Do đó ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ là số trận thắng – thua và $y$ là số trận hòa $$\left(x,y\in \mathbb{N}\ast \right)$$.

Nếu có 5 đội tham gia thi đấu, mỗi đội phải đấu với 4 đội còn lại nên với 5 đội tham gia thì có $5\cdot 4=20$ (trận đấu). Nhưng mỗi trận đấy có 2 đội tham gia nên tổng số trận đấu khi có 5 đội tham gia là $\frac{5\cdot 4}{2}=10$ (trận đấu).

Vì có 10 trận đấu nên $x+y=10 \left(1\right)$

Mặt khác, tổng số điểm các đội là $10+9+6+4+0=29$ (điểm).

Mỗi trận thắng – thua có tổng số điểm là 3 và mỗi trận hòa có tổng số có tổng số điểm là 2 nên ta có phương trình $3x+2y=29$ $$\left(2\right)$$

Từ $$\left(1\right)$$ và $$\left(2\right)$$ ta có hệ phương trình $\left(\begin{array}{c}x+y=10\\ 3x+2y=29\end{array}\right)$

Từ phương trình thứ hai ta có $x+y=10$ suy ra $x=10-y$. Thế vào phương trình thứ nhất, ta được:

$3\left(10-y\right)+2y=29$, suy ra $30-3y+2y=29$ hay $y=1$ (thỏa mãn).

Từ đó $x=10-y=10-1=9$ (thỏa mãn).

Mỗi đội có 4 trận đấu với các đội còn lại mà đội A có 10 điểm tức đội A thắng 3 trận hòa 1 trận.

Đội B có 9 điểm tức thắng 3 trận thua 1 trận.

Đội C có 6 điểm tức thắng 2 trận thua 2 trận.

Đội D có 4 điểm thắng 1 trận hòa 1 trận.

Đội E không có điểm tức là thua hết 4 trận.

Vậy trận hòa là của đội A và đội D.

B. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Hướng dẫn giải

⦁ Vì $ABC$ là tam giác đều cạnh $20\mathrm{cm}$ nên $BC=20\mathrm{cm}$ và $\hat{B}=60^{\circ }.$

Giả sử $MB=x\left(x>0\right)(\mathrm{cm}).$ Khi đó $$QC=x(\mathrm{cm})$$ và $MQ=BC-BM-QC=20-2x(\mathrm{cm}).$

Xét $\Delta MNB$ vuông tại $M,$ ta có: $MN=MB\cdot \tan B=x\tan 60^{\circ }=x\sqrt{3}(\mathrm{cm}).$

Diện tích hình chữ nhật $MNPQ$ là: $S\left(x\right)=\left(20-2x\right)\cdot x\sqrt{3}=2\sqrt{3}\cdot x\left(10-x\right)(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2).$

Để diện tích hình chữ nhật $MNPQ$ lớn nhất thì ta tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $S\left(x\right)$.

⦁ Chứng minh bất đẳng thức: $ab\le {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2\left(\ast \right)$ với $a,b$ là các số không âm.

Thật vậy, xét hiệu ${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2-ab=\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{4}=\frac{a^2-2ab+b^2}{4}=\frac{{\left(a-b\right)}^2}{2}$

Với mọi $a,b$ là các số không âm, ta có:

${\left(a-b\right)}^2\ge 0$ nên $\frac{{\left(a-b\right)}^2}{2}\ge 0$ suy ra ${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2\ge ab$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b.$ Như vậy bất đẳng thức $\left(\ast \right)$ đã được chứng minh.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức $\left(\ast \right)$ cho biểu thức $S\left(x\right)=2\sqrt{3}\cdot x\left(10-x\right),$ ta được:

$$S\left(x\right)=2\sqrt{3}\cdot x\left(10-x\right)\le 2\sqrt{3}\cdot {\left(\frac{x+10-x}{2}\right)}^2=50\sqrt{3}$$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $$x=10-x$$ hay $$x=5$$.

Vậy $MB=5\mathrm{cm}$ thì hình chữ nhật $MNPQ$ có diện tích lớn nhất.