Đề thi giữa kì 1 Toán 9 Cánh diều (Tự luận) – Đề 3 (có đáp án)

a) $\left(\frac{1}{2}x-1\right)\left(3+5x\right)=0$

$\frac{1}{2}x-1=0$ hoặc $3+5x=0$

 $\frac{1}{2}x=1$ hoặc $5x=-3$

    $x=2$ hoặc $x=-\frac{3}{5}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=2;$ $x=-\frac{3}{5}$.

a) $\frac{15-6x}{3}<5$

$\frac{15-6x}{3}\cdot 3<5\cdot 3$

$15-6x<15$

$-6x<0$

    $x>0$.

a) Để phương trình đã cho là phương trình bậc nhất hai ẩn thì $2a\ne 0$ hoặc $-\left(3b+1\right)\ne 0,$ tức là $a\ne 0$ hoặc $b\ne -\frac{1}{3}.$

b) Để đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left(-7;6\right)$ thì tọa độ điểm $M$ thỏa mãn phương trình đã cho.

Thay $x=-7;y=6$ vào phương trình $2ax-\left(3b+1\right)y=a-1,$ ta được:

$$2a\cdot \left(-7\right)-\left(3b+1\right)\cdot 6=a-1$$

$-14a-18b-6=a-1$

$-15a-18b=5$   (1)

Để đường thẳng $d$ đi qua điểm $N\left(4;-3\right)$ thì tọa độ điểm $N$ thỏa mãn phương trình đã cho.

Thay $x=4;y=-3$ vào phương trình $2ax-\left(3b+1\right)y=a-1,$ ta được:

$$2a\cdot 4-\left(3b+1\right)\cdot \left(-3\right)=a-1$$

$8a+9b+3=a-1$

$7a+9b=-4$   (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{c}-15a-18b=5\\ 7a+9b=-4\end{array}$

Nhân hai vế phương trình thứ hai với 2 ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{c}-15a-18b=5\\ 14a+18b=-8\end{array}$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được:

$\left(-15a-18b\right)+\left(14a+18b\right)=5+\left(-8\right)$

$-a=-3$

  $a=3$.

Thay $a=3$ vào phương trình $7a+9b=-4,$ ta có:

$7\cdot 3+9b=-4$ hay $9b=-25$ nên $b=-\frac{25}{9}.$

Vậy $a=3$ và $b=-\frac{25}{9}.$

Gọi $x$ (đồng) và $y$ (đồng) lần lượt là giá vé cáp treo khứ hồi và giá vé 1 lượt $\left(x>0,y>0\right).$

Do giá vé 1 lượt rẻ hơn giá vé khứ hồi là $$70000$$ đồng nên ta có phương trình:

$x-y=70000.\left(1\right)$

Do trong đoàn $40$ người chỉ có $5$ người mua vé cáp treo $1$ lượt cho lượt xuống nên đã có $40-5=35$ người mua vé cáp treo khứ hồi.

Khi đó, số tiền cần trả để mua $35$ vé cáp treo khứ hồi và $5$ vé cáp treo 1 lượt là: $35x+5y$ (đồng).

Theo bài, cả đoàn khách du lịch này đã chi ra $$8450000$$ đồng để mua vé nên ta có phương trình:

$35x+5y=8450000.\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}x-y=70000\left(1\right)\\ 35x+5y=8450000\left(2\right)\end{array}$

Nhân hai vế của phương trình $\left(1\right)$ với $5,$ ta được hệ phương trình mới là: $\{\begin{array}{l}5x-5y=350000\\ 35x+5y=8450000.\end{array}$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được:

$40x=8800000,$ suy ra $x=220000$ (thỏa mãn).

Thay $x=220000$ vào phương trình $\left(1\right),$ ta được:

$220000-y=70000,$ suy ra $y=150000$ (thỏa mãn).

Do đó hệ phương trình trên có nghiệm là $\left(x;y\right)=\left(220000;150000\right).$

Vậy giá vé cáp treo khứ hồi và giá vé cáp treo 1 lượt lần lượt là $200000$ đồng và $150000$ đồng.

a) Số câu trả lời sai là: $10-x$ (câu).

Số điểm người đó có được khi trả lời đúng $x$ (câu) là: $5x$ (điểm).

Số điểm người đó bị trừ khi trả lời sai $10-x$ (câu) là: $10-x$ (điểm).

Như vậy, số điểm của người đó sau khi trả lời hết 10 câu hỏi là: $10+5x-\left(10-x\right)$ (điểm).

Theo bài, để được dự thi vòng tiếp theo thì người đó cần có tổng số điểm từ 40 điểm trở lên nên ta có bất phương trình:

$10+5x-\left(10-x\right)\ge 40.$

Vậy bất phương trình cần tìm là: $10+5x-\left(10-x\right)\ge 40.$

b) Giải bất phương trình:

$10+5x-\left(10-x\right)\ge 40$

$10+5x-10+x\ge 40$

$6x\ge 40$

$x\ge \frac{40}{6}\left(\approx 6,\mathrm{666...}\right)$.

Vì $x$ là số nguyên nên $x\ge 7.$

Vậy người dự thi cần phải trả lời chính xác ít nhất 7 câu hỏi thì mới được dự thi ở vòng sau.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ ta có:

$BC=AC\cdot \cos C$, suy ra $AC=\frac{BC}{\cos C}=\frac{1,3}{\cos 66^{\circ }}\approx 3,20$ (m).

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ ta có: $AB=BC\cdot \tan C=1,3\cdot \tan 66^{\circ }\approx 2,92$ (m).

Khi đầu $A$ của thang bị trượt xuống $40\mathrm{cm}=0,4\mathrm{m}$ đến vị trí $D$ thì $DB=AB-AD\approx 2,92-0,4=2,52$ (m) và chiều dài thang là $DE=AC\approx 3,20$ (m).

Xét $\Delta BDE$ vuông tại $B,$ ta có:

$\sin \widehat{DEB}=\frac{BD}{DE}\approx \frac{2,52}{3,2}=0,7875$, suy ra $\widehat{DEB}\approx 51^{\circ }57^{\prime }.$

a) Xét $\Delta AKC$ vuông tại $K,$ ta có:

$\sin C=\genfrac{}{}{0ex}{}{AK}{AC},\cos C=\genfrac{}{}{0ex}{}{KC}{AC},$

$\tan C=\genfrac{}{}{0ex}{}{AK}{KC},\cot C=\genfrac{}{}{0ex}{}{KC}{AK}.$

$ABC$ có đường cao $$AK$$. a) Viết các tỉ số lượng giác của góc $C.$ (ảnh 1)">

Gọi $x,y$ lần lượt là độ dài hai cạnh của mảnh vườn hình chữ nhật $\left(x>0,y>0\right).$

Số mét rào cần rào ba cạnh còn lại của mảnh vườn là: $2x+y$ (mét).

Diện tích mảnh vườn là: $xy$ (m2).

⦁ Chứng minh bất đẳng thức: $$ab\le {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2\left(\ast \right)$$ với $a,b$ là các số không âm.

Thật vậy, xét hiệu ${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2-ab=\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{4}=\frac{a^2-2ab+b^2}{4}=\frac{{\left(a-b\right)}^2}{2}$

Với mọi $a,b$ là các số không âm, ta có:

${\left(a-b\right)}^2\ge 0$ nên $\frac{{\left(a-b\right)}^2}{2}\ge 0$ suy ra ${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2\ge ab$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b.$ Như vậy bất đẳng thức $\left(\ast \right)$ đã được chứng minh.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức $\left(\ast \right)$ ta được:

$$xy=2\cdot x\cdot \frac{y}{2}\le 2\cdot {\left(\frac{x+\frac{y}{2}}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{2x+y}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{100}{2}\right)}^2=1250({\mathrm{m}}^2).$$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x=\frac{y}{2}$ và $2x+y=100$ hay $2\cdot \frac{y}{2}+y=100$ tức là $y=50$, $x=25.$

Vậy diện tích lớn nhất của mảnh vườn là $1250{\mathrm{m}}^2.$