Đề thi giữa kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) – Đề 4 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

Đáp án:               a) Đúng.     b) Đúng.    c) Sai.        d) Sai.

Giải hệ phương trình đã cho bằng phương pháp cộng đại số như sau:

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2, ta được: 

 $\{\begin{array}{c}2x-6y=5\\ 2x-6y=4.\end{array}$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ, ta được:

$0x+0y=1$ hay $0x=1$.

Phương trình trên vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp án:               a) Sai.        b) Sai.        c) Đúng.     d) Đúng.

a) Sai. Vì $a<b$ suy ra $4a<4b$ hay $4a-2<4b-2$ nên ý a) là sai.

b) Sai. Vì $a<b$ suy ra $-3a>-3b$ hay $6-3a>6-3b$ nên ý b) là sai.

c) Đúng. Vì $a<b$ suy ra $4a<4b$ nên $4a+1<4b+1<4b+5$ hay $4a+1<4b+5$ nên ý c) là đúng.

d) Đúng. Vì $a<b$ suy ra $-2a>-2b$ nên $7-2a>7-2b>4-2b$ hay $7-2a>4-2b$ nên ý d) đúng.

Hướng dẫn giải

Gọi $x(\mathrm{kg})$ là khối lượng axit $X$ có trong dung dịch $A$ và $y(\mathrm{kg})$ là khối lượng dung dịch chất $A$ $\left(y>x>0\right)$.

Khi thêm $$1$$ kg nước vào dung dịch $$A$$ thì được dung dịch $$B$$ có khối lượng là: $y+1(\mathrm{kg})$.

Theo bài, nồng độ của dung dịch $B$ là $$20\%$$ nên ta có phương trình:

$\frac{x}{y+1}\cdot 100\%=20\%$ hay $5x=y+1$ suy ra $5x-y=1$ (1)

Khi thêm $$1$$ kg axit vào dung dịch $$B$$ thì được dung dịch $$C$$ có khối lượng là: $y+1+1=y+2(\mathrm{kg})$ và khối lượng axit $X$ có trong dung dịch lúc này là $x+1(\mathrm{kg})$

Theo bài, nồng độ của dung dịch $C$ là $$33\frac{1}{3}\%$$ nên ta có phương trình:

$\frac{x+1}{y+2}\cdot 100\%=33\frac{1}{3}\%$ hay $3\left(x+1\right)=y+2$ suy ra $3x-y=-1$.   (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2), ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}5x-y=1\\ 3x-y=-1\end{array}$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$2x=2,$ suy ra $x=1$ (thỏa mãn).

Thay $x=1$ vào phương trình $5x=y+1$ ta được:

$5\cdot 1=y+1$, suy ra $y=4$ (thỏa mãn).

Vậy nồng độ axit của dung dịch $A$ là: $\frac{x}{y}\cdot 100\%=\frac{1}{4}\cdot 100\%=25\%.$

Hướng dẫn giải

a) Kẻ $CH\perp AB,H\in AB.$ Khi đó $CH$ là chiều cao của con dốc.

⦁ Xét $\Delta ACH$ vuông tại $$H,$$ ta có: $\tan \widehat{CAH}=\frac{CH}{AH}$

Suy ra $AH=\frac{CH}{\tan \widehat{CAH}}=\frac{CH}{{tan6}^{\circ }}(\mathrm{m}).$ (1)

⦁ Xét $\Delta BCH$ vuông tại $$H,$$ ta có: $\tan \widehat{CBH}=\frac{CH}{BH}$

Suy ra $BH=\frac{CH}{\tan \widehat{CBH}}=\frac{CH}{{tan4}^{\circ }}(\mathrm{m}).$ (2)

⦁ Từ (1) và (2) ta có: $AH+BH=\frac{CH}{{tan6}^{\circ }}+\frac{CH}{{tan4}^{\circ }}$ hay $AB=CH\cdot \left(\frac{1}{{tan6}^{\circ }}+\frac{1}{{tan4}^{\circ }}\right)$

Do đó $762=CH\cdot \left(\frac{1}{{tan6}^{\circ }}+\frac{1}{{tan4}^{\circ }}\right)$

Suy ra $CH=\frac{762}{\frac{1}{{tan6}^{\circ }}+\frac{1}{{tan4}^{\circ }}}\approx 32(\mathrm{m}).$

Vậy chiều cao của con dốc là 32 m.

b) ⦁ Xét $\Delta ACH$ vuông tại $$H,$$ ta có: $\sin \widehat{CAH}=\frac{CH}{AC}$

Suy ra $AC=\frac{CH}{\sin \widehat{CAH}}\approx \frac{32}{{sin6}^{\circ }}(\mathrm{m})=\frac{4}{125{sin6}^{\circ }}(\mathrm{km}).$ (3)

Xét $\Delta BCH$ vuông tại $$H,$$ ta có: $\sin \widehat{CBH}=\frac{CH}{CB}$

Suy ra $CB=\frac{CH}{\sin \widehat{CBH}}\approx \frac{32}{{sin4}^{\circ }}(\mathrm{m})=\frac{4}{125{sin4}^{\circ }}(\mathrm{km}).$ (4)

⦁ Thời gian lên dốc $$AC$$ là: $$t_{AC}=\frac{S_{AC}}{v_{ld}}=\frac{AC}{v_{ld}}\approx \frac{4}{125{sin6}^{\circ }}:4=\frac{1}{125{sin6}^{\circ }}$$ (giờ).

Thời gian xuống dốc $CB$ là: $$t_{CB}=\frac{S_{CB}}{v_{xd}}=\frac{CB}{v_{xd}}\approx \frac{4}{125{sin4}^{\circ }}:19=\frac{4}{2{375sin4}^{\circ }}$$ (giờ).

Thời gian đi từ $A$ đến $B$ là:

$t_{AB}=t_{AC}+t_{CB}\approx \frac{1}{125\sin 6^{\circ }}+\frac{4}{2{375sin4}^{\circ }}\approx 0,1007$ (giờ) ≈ 6 phút.

Vậy bạn An đến trường lúc 6 giờ + 6 phút = 6 giờ 6 phút.

Đặt tên các điểm như hình vẽ. Đặt $CJ=x\left(x>0\right).$

Vì $$AJ//KB$$ (cùng vuông góc với $CI$) nên hai tam giác $AJC$ và $BKA$ là hai tam giác đồng dạng nên $\genfrac{}{}{0ex}{}{JC}{KA}=\genfrac{}{}{0ex}{}{JA}{KB}$ nên $\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{5}=\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{KB}$, suy ra $KB=\genfrac{}{}{0ex}{}{60}{x}$.

Diện tích khu nuôi cá là:

$S\left(x\right)=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\left(x+5\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{60}{x}+12\right)=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\left(60+12x+\genfrac{}{}{0ex}{}{300}{x}+60\right)=\genfrac{}{}{0ex}{}{150}{x}+6x+60$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$$S\left(x\right)=\genfrac{}{}{0ex}{}{150}{x}+6x+60\ge 2\sqrt{\genfrac{}{}{0ex}{}{150}{x}\cdot 6x}+60=2\sqrt{900}+60=120.$$

Dấu xảy ra khi $$\genfrac{}{}{0ex}{}{150}{x}=6x$$ nên $x^2=25$, suy ra $x=5\mathrm{m}$

Vậy diện tích nhỏ nhất có thể giăng là .$120{\mathrm{m}}^2.$.