Đề thi giữa kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo (Tự luận) – Đề 1 (có đáp án)

8 câu · Đề giữa kì 1

Đề tự luận: mỗi câu có đáp án tham khảo của đề gốc để bạn tự đối chiếu bài làm (không tính điểm).

Câu 1

Câu tự luận

Cho hai đường thẳng $d_{1} : x + m y = n$ và $d_{2} : - 2 x + 3 y = - 1.$

a) Tất cả các nghiệm của phương trình $x + m y = n$ được biểu diễn bởi đồ thị của hàm số nào? Viết nghiệm tổng quát của phương trình đó.

b) Biết $m = - 2; n = 1$ . Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trên.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Với $m \neq = 0,$ ta viết phương trình $x + m y = n$ về dạng $y = - \frac{1}{m} x + \frac{n}{m}$ .

Do đó đồ thị hàm số $y = - \frac{1}{m} x + \frac{n}{m}$ biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn $x + m y = n$ .

Nghiệm tổng quát của phương trình $x + m y = n$ là $(x; - \frac{1}{m} x + \frac{n}{m})$ với $x \in R$ tùy ý và $m \neq = 0.$

b) Với $m = - 2; n = 1$ thì ta có $d_{1} : x - 2 y = 1$ .

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ thỏa mãn hệ phương trình ${x - 2 y = 1 - 2 x + 3 y = - 1.$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2, ta được hệ ${2 x - 4 y = 2 - 2 x + 3 y = - 1.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được: $- y = 1$ hay $y = - 1.$

Thay $y = - 1$ vào phương trình $x - 2 y = 1,$ ta được: $x - 2 \cdot (- 1) = 1$ hay $x + 2 = 1,$ suy ra $x = - 1.$

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ là $(- 1; - 1) .$

Gọi \

Câu 2

Câu tự luận

Giải các phương trình sau:

a) $(3 x + 2) (1 - x) = 0.$

b) $\frac{x + 3}{x - 3} = \frac{3}{x ^{2} - 3 x} + \frac{1}{x} .$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) $(3 x + 2) (1 - x) = 0$

$3 x + 2 = 0$ hoặc $1 - x = 0$

$3 x = - 2$ hoặc $x = 1$

$x = \frac{- 2}{3}$ hoặc $x = 1$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

x = \frac{- 2}{3}; x = 1.

b) Điều kiện xác định $x \neq = 0; x \neq = 3.$

$\frac{x + 3}{x - 3} = \frac{3}{x ^{2} - 3 x} + \frac{1}{x}$

$\frac{( x + 3 ) x}{x ( x - 3 )} = \frac{3}{x ( x - 3 )} + \frac{x - 3}{x ( x - 3 )}$

$(x + 3) x = 3 + x - 3$

$x^{2} + 3 x = 3 + x - 3$

$x^{2} + 2 x = 0$

$x (x + 2) = 0$

$x = 0$ hoặc $x + 2 = 0$

$x = 0$ (không thỏa mãn) hoặc $x = - 2$ (thỏa mãn).

Vậy nghiệm phương trình đã cho là $x = - 2$ .

Câu 3

Câu tự luận

Giải các bất phương trình sau:

a) $3 x - 8 > 4 x - 12.$

b) $\frac{4 x - 1}{2} + \frac{6 x - 19}{6} \geq \frac{9 x - 11}{3} .$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) $3 x - 8 < 4 x - 12$

$3 x - 4 x < - 12 + 8$

$- x < - 4$

$x > 4$ .

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x > 4.$

b) $\frac{4 x - 1}{2} + \frac{6 x - 19}{6} \geq \frac{9 x - 11}{3}$

$\frac{3 ( 4 x - 1 )}{6} + \frac{6 x - 19}{6} \geq \frac{2 ( 9 x - 11 )}{6}$

$3 (4 x - 1) + 6 x - 19 \geq 2 (9 x - 11)$

$12 x - 3 + 6 x - 19 \geq 18 x - 22$

$12 x + 6 x - 18 x \geq - 22 + 3 + 19$

$0 x \geq 0$ .

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là

x \in R .

Câu 4

Câu tự luận

Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:

Theo các chuyên gia về sức khỏe, người trưởng thành cần đi bộ từ $5000$ bước mỗi ngày sẽ rất tốt cho sức khỏe. Để rèn luyện sức khỏe, anh Sơn và chị Hà đề ra mục tiêu mỗi ngày một người phải đi bộ ít nhất $6000$ bước. Hai người cùng đi bộ ở công viên và thấy rằng, nếu cùng đi trong 2 phút thì anh Sơn bước nhiều hơn chị Hà 20 bước. Hai người cùng giữ nguyên tốc độ đi như vậy nhưng chị Hà đi trong 5 phút thì lại đi nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước. Hỏi mỗi ngày anh Sơn và chị Hà cùng đi bộ trong 1 giờ thì họ đã đạt được số bước tối thiểu mà mục tiêu đề ra hay chưa? (Giả sử tốc độ đi bộ hàng ngày của hai người không đổi)

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Gọi $x, y$ (bước) lần lượt là số bước mà anh Sơn và chị Hà đi bộ trong 1 phút $(x, y \in N *; x > y) .$

Trong 2 phút, anh Sơn đi được $2 x$ (bước); chị Hà đi được $2 y$ (bước).

Nếu đi cùng trong 2 phút thì anh Sơn đi nhiều hơn chị Hà 20 bước nên

$2 x - 2 y = 20$ hay $x - y = 10 (1)$

Trong 3 phút anh Sơn đi được $3 x$ (bước)

Trong 5 phút chị Hà đi được $5 y$ (bước)

Do chị Hà đi trong 5 phút thì nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước nên

$5 y - 3 x = 160$ hay $- 3 x + 5 y = 160 (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hệ phương trình ${x - y = 10 - 3 x + 5 y = 160$ .

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $3,$ ta được hệ phương trình ${3 x - 3 y = 30 - 3 x + 5 y = 160 .$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được: $2 y = 190$ nên $y = 95$ (thỏa mãn).

Thay $y = 95$ vào phương trình thứ nhất của hệ ban đầu, ta được:

$x - 95 = 10$ suy ra $x = 10 + 95 = 105$ (thỏa mãn).

Mỗi ngày anh Sơn đi bộ trong 1 giờ nên số bước anh Sơn đi là $105 \cdot 60 = 6300$ (bước)

Mỗi ngày anh Sơn đi bộ trong 1 giờ nên số bước chị Hà đi là $95 \cdot 60 = 5700$ (bước)

Vậy anh Sơn đạt được mục tiêu đề ra, còn chị Hà thì không đạt mục tiêu đề ra.

Câu 5

Câu tự luận

Trong cuộc thi “Đố vui để học”, mỗi thí sinh phải trả lời 12 câu hỏi. Mỗi câu hỏi gồm bốn phương án, trong đó chỉ có một phương án đúng. Với mỗi câu hỏi, nếu trả lời đúng thì được cộng thêm 5 điểm, trả lời sai bị trừ 2 điểm. Khi bắt đầu cuộc thi mỗi thí sinh có sẵn 20 điểm. Thí sinh nào đạt từ 50 điểm trở lên sẽ được vào vòng tiếp theo.

a) Gọi $x$ là số câu trả lời đúng $(0 \leq x \leq 12, x \in N)$ . Viết bất phương trình phù hợp với dữ liệu đề bài.

b) Hỏi thí sinh phải trả lời đúng ít nhất bao nhiêu câu thì được vào vòng thi tiếp theo?

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Gọi $x$ là số câu trả lời đúng $(0 \leq x \leq 12, x \in N)$ .

Khi đó, số câu trả lời sai là $12 - x$ (câu hỏi).

Số điểm được cộng khi trả lời đúng $x$ câu hỏi là $5 x$ (điểm)

Số điểm bị trừ khi trả lời đúng $12 - x$ câu hỏi là $2 (12 - x)$ (điểm)

Khi bắt đầu cuộc thi mỗi thí sinh có sẵn 20 điểm nên số điểm thí

Theo đề bài, những thí sinh nào đạt từ 50 điểm trở lên sẽ được vào vòng tiếp theo nên ta có

$20 + 5 x - 2 (12 - x) \geq 50$

Vậy bất phương trình cần tìm là: $20 + 5 x - 2 (12 - x) \geq 50$ .

b) Giải bất phương trình:

$20 + 5 x - 2 (12 - x) \geq 50$

$20 + 5 x - 24 + 2 x \geq 50$

$7 x - 4 \geq 50$

$x \geq \frac{54}{7} \approx 7, 714.$

Vậy thí sinh muốn vào vòng tiếp theo cần trả lời đúng 8 câu hỏi trở lên.

Đặt \(BC = x\,\,\left( {{\rm{km}}} \r

Câu 6

Câu tự luận

Tại hai điểm cách nhau $1 km$ trên mặt đất người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng lần lượt là $4 0^{\circ}$ và $3 2^{\circ}$ $(A, B, C$ thẳng hàng) (như hình vẽ). Tính chiều cao của ngọn núi (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

1 km

trên mặt đất người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng lần lượt là

4 0^{\circ}

và

3 2^{\circ}

(A, B, C

thẳng hàng) (như hình vẽ). (ảnh 1)">

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Đặt $B C = x (km)$ .

1 km

trên mặt đất người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng lần lượt là

4 0^{\circ}

và

3 2^{\circ}

(A, B, C

thẳng hàng) (như hình vẽ). (ảnh 2)">

Khi đó $A C = B C + 1 = x + 1 (km) .$

Xét $Δ A D C$ vuông tại $C$ có

$C D = B C \cdot tan 4 0^{\circ} = x tan 4 0^{\circ} (1)$

Xét $Δ B D C$ vuông tại $C$ có

C D = A C \cdot tan 3 2^{\circ} = (x + 1) tan 3 2^{\circ} (2)

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $x tan 4 0^{\circ} = (x + 1) tan 3 2^{\circ}$

$x tan 4 0^{\circ} = x tan 3 2^{\circ} + tan 3 2^{\circ}$

$x (tan 4 0^{\circ} - tan 3 2^{\circ}) = tan 3 2^{\circ}$

$x = \frac{tan 3 2 ^{\circ}}{tan 4 0 ^{\circ} - tan 3 2 ^{\circ}} \approx 2, 45 (km) .$

Vậy ngọn núi cao khoảng $2, 45 km .$

Câu 7

Câu tự luận

Cho $Δ A B C$ vuông tại $A$ $(A B < A C)$ .

a) Viết các tỉ số lượng giác của góc $B .$

b) Cho $A C = 16 cm, B C = 20 cm .$ Giải tam giác $A B C$ (làm tròn số đo góc đến phút).

c) Kẻ đường cao $A H .$ Gọi $M$ là hình chiếu của $H$ lên $A B,$ $K$ là hình chiếu của $H$ lên $A C .$ Chứng minh rằng $B M + C K = B C (cos^{3} B + sin^{3} B) .$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Xét $Δ A B C$ vuông tại $A,$ ta có:

$sin B = \frac{A C}{B C}, cos B = \frac{A B}{B C},$

$tan B = \frac{A C}{A B}, cot B = \frac{A B}{A C} .$

Δ A B C

vuông tại

A

(A B < A C)

. a) Viết các tỉ số lượng giác của góc

B .

(ảnh 1)">

b) Xét $Δ A B C$ vuông tại $A,$ theo định lí Pythagore, ta có:

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

Suy ra $A B^{2} = B C^{2} - A C^{2} = 2 0^{2} - 1 6^{2} = 144.$ Do đó $A B = 12 cm .$

Theo câu a, ta có: $cos B = \frac{A B}{B C} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} .$ Từ đó suy ra $B \approx 5 3^{\circ} 8^{'} .$

Lại có: $B + C = 9 0^{\circ}$ , suy ra $C = 9 0^{\circ} - B \approx 9 0^{\circ} - 5 3^{\circ} 8^{'} \approx 3 6^{\circ} 5 2^{'} .$

Vậy $A B = 12 cm, B \approx 5 3^{\circ} 8^{'}, C \approx 3 6^{\circ} 5 2^{'} .$

c) Xét $Δ A B H$ vuông tại $H,$ ta có: $cos B = \frac{B H}{A B} .$

Xét $Δ M B H$ vuông tại $M,$ ta có: $cos B = \frac{B M}{B H} .$

Ta có: $cos^{3} B = cos B \cdot cos B \cdot cos B = \frac{A B}{B C} \cdot \frac{B H}{A B} \cdot \frac{B M}{B H} = \frac{B M}{B C} .$

Chứng minh tương tự, ta cũng có: $cos^{3} C = cos C \cdot cos C \cdot cos C = \frac{A C}{B C} \cdot \frac{C H}{A C} \cdot \frac{C K}{C H} = \frac{C K}{B C} .$

Lại có $B + C = 9 0^{\circ}$ nên $cos C = sin B,$ suy ra $sin^{3} B = \frac{C K}{B C} .$

Do đó $cos^{3} B + sin^{3} B = \frac{B M}{B C} + \frac{C K}{B C} = \frac{B M + C K}{B C} .$

Suy ra $B M + C K = B C (cos^{3} B + sin^{3} B) .$

Câu 8

Câu tự luận

Một nhóm học sinh tham gia một kỳ thi và có tổng cộng 40 điểm. Nếu biết rằng không có học sinh nào có điểm dưới 10 và tổng số điểm của các học sinh là 300. Chứng minh rằng không có học sinh nào có điểm lớn hơn 30.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Điểm trung bình của 40 học sinh là: $\frac{300}{4} = 7, 5$ (điểm).

Giả sử có một học sinh có điểm lớn hơn 30. Gọi điểm của học sinh đó là $a_{k} > 30.$

Điểm của các học sinh còn lại là $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k - 1}, a_{k + 1}, \dots, a_{40} .$

Tổng điểm của các học sinh còn lại là: $S = 300 - a_{k} .$

Vì $a_{k} > 30$ thì $S < 300 - 30 = 270.$

Số lượng học sinh còn lại là 39 nên trung bình điểm của các học sinh còn lại là:

$M = \frac{S}{39} < \frac{270}{39} \approx 6, 92.$

Theo giả thiết, không có học sinh nào có điểm dưới 10.

Do đó, tổng điểm tối thiểu của 39 học sinh còn lại là: $S \geq 10 \cdot 39 = 390.$

Mà $S < 270$ dẫn đến mâu thuẫn.

Vậy không có học sinh nào có điểm lớn hơn 30.