Đề thi giữa kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo (Tự luận) – Đề 2 (có đáp án)

a) Với $a=1,$ $b=0$, ta có phương trình $2x=-4$ hay $x=-2.$

Như vậy với $a=1,$ $b=0,$ tất cả các nghiệm của phương trình $2ax+by=-4$ được biểu diễn bởi đồ thị của hàm số $x=-2.$

Đồ thị hàm số $x=-2$ là đường thẳng song song với trục tung và vuông góc với trục hoành tại điểm $-2.$

b) Để hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left(1;-2\right)$ thì $x=1,y=-2$ thỏa mãn hệ phương trình đó.

Thay $x=1,y=-2$ vào hệ phương trình $\{\begin{array}{c}2ax+by=-4\\ bx-ay=4\end{array}$ ta được:

$\{\begin{array}{c}2a\cdot 1+b\cdot \left(-2\right)=-4\\ b\cdot 1-a\cdot \left(-2\right)=4\end{array}$ hay $\{\begin{array}{l}2a-2b=-4\\ 2a+b=4\end{array}$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ phương trình trên, ta được:

$-3b=-8$ suy ra $b=\frac{8}{3}.$

Thay $b=\frac{8}{3}$ vào phương trình $2a+b=4,$ ta được:

$2a+\frac{8}{3}=4,$ suy ra $a=\frac{2}{3}.$

Vậy cặp số $\left(a;b\right)$ cần tìm là $\left(\frac{2}{3};\frac{8}{3}\right).$

a) $$2x(3x-1)+6x-2=0$$

$$2x\left(3x-1\right)+2\left(3x-1\right)=0$$

$$\left(3x-1\right)\left(2x+2\right)=0$$

$$2\left(3x-1\right)\left(x+1\right)=0$$

$3x-1=0$ hoặc $x+1=0$

$x=\frac{1}{3}$ hoặc $x=-1$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{1}{3}$ và $x=-1.$

a) $9x+7\ge -12x-1$

 $9x+12x\ge -1-7$

 $21x\ge -8$                                             

     $x\ge \frac{-8}{21}$                       

Gọi $x(\mathrm{kg})$ là khối lượng axit $X$ có trong dung dịch $A$ và $y(\mathrm{kg})$ là khối lượng dung dịch chất $A$ $\left(y>x>0\right)$.

Khi thêm $$1$$ kg nước vào dung dịch $$A$$ thì được dung dịch $$B$$ có khối lượng là: $y+1(\mathrm{kg})$.

Theo bài, nồng độ của dung dịch $B$ là $$20\%$$ nên ta có phương trình:

$\frac{x}{y+1}\cdot 100\%=20\%$ hay $5x=y+1$ suy ra $5x-y=1$  (1)

Khi thêm $$1$$ kg axit vào dung dịch $$B$$ thì được dung dịch $$C$$ có khối lượng là: $y+1+1=y+2(\mathrm{kg})$ và khối lượng axit $X$ có trong dung dịch lúc này là $x+1(\mathrm{kg})$

Theo bài, nồng độ của dung dịch $C$ là $$33\frac{1}{3}\%$$ nên ta có phương trình:

$\frac{x+1}{y+2}\cdot 100\%=33\frac{1}{3}\%$ hay $3\left(x+1\right)=y+2$ suy ra $3x-y=-1$.   (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2), ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}5x-y=1\\ 3x-y=-1\end{array}$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$2x=2,$ suy ra $x=1$ (thỏa mãn).

Thay $x=1$ vào phương trình $5x=y+1$ ta được:

$5\cdot 1=y+1$, suy ra $y=4$ (thỏa mãn).

Vậy nồng độ axit của dung dịch $A$ là: $\frac{x}{y}\cdot 100\%=\frac{1}{4}\cdot 100\%=25\%.$

a) Đổi $5,25$ tấn $=5250\mathrm{kg}$.

Gọi $x$ (thùng) là số sữa mà xe có thể chở $\left(x\in \mathbb{N}\ast \right)$.

Khi đó, khối lượng sữa mà xe chở là: $10x\left(\mathrm{kg}\right).$

Tổng khối lượng sữa và bác tài xế là: $65+10x\left(\mathrm{kg}\right).$

Do trọng tải của xe (tức là tổng khối lượng tối đa cho phép mà xe có thể chở) là $5250\mathrm{kg}$ nên ta có

$65+10x\le 5250$

Vậy bất phương trình cần tìm là: $65+10x\le 5250$.

b) Giải bất phương trình:

$65+10x\le 5250$

$10x\le 5185$

$x\le 518,5$

Mà $x\in \mathbb{N}\ast$ nên xe tải đó có thể chở tối đa 518 thùng sữa.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $B$, ta có

$\tan \widehat{BAC}=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{2,5}=0,8$ nên $\widehat{BAC}\approx 38,7^{\circ }.$

Ta có $\widehat{BAD}=\widehat{BAC}+\widehat{CAD}\approx 38,7^{\circ }+20^{\circ }=58,7^{\circ }.$

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $B$, ta có

a) Xét $\Delta KEB$ vuông tại $K$ , ta có:

$\sin \widehat{EBK}=\frac{EK}{EB}$; $\cos \widehat{EBK}=\frac{KB}{EB}$

$\tan \widehat{EBK}=\frac{EK}{KB};\cos \widehat{EBK}=\frac{KB}{EK}$.

ABC vuông tại $A$ $\left(AB<AC\right)$. Kéo dài $CA$ một đoạn sao cho $AE=AB.$ Kẻ $EK\perp BC$$(K$ nằm trên đường thẳng $BC).$ (ảnh 1)">

b) Xét $\Delta KEC$ vuông tại $K$, ta có:

$EK=EC\cdot \sin C=16\cdot \sin 30^{\circ }=8(\mathrm{cm}).$

Xét $\Delta ABE$ vuông tại $A$ có $AE=AB$ nên $\Delta ABE$ vuông cân tại $A.$ Do đó $\widehat{AEB}=45^{\circ }.$

Xét $\Delta EBC$ có $\widehat{EBK}$ là góc ngoài nên $\widehat{EBK}=\widehat{AEB}+\hat{C}=45^{\circ }+30^{\circ }=75^{\circ }.$

Theo câu a, ta có $\sin \widehat{EBK}=\frac{EK}{EB}$.

Suy ra $EB=\frac{EK}{\sin \widehat{EBK}}=\frac{8}{\sin 75^{\circ }}\approx 8,3(\mathrm{cm}).$

Xét $\Delta ABE$ vuông tại $A$ ta có $AB=EB\cdot \sin \widehat{AEB}\approx 8,3\cdot \sin 45^{\circ }\approx 5,9(\mathrm{cm}).$

c) Xét $\Delta AEQ$ vuông tại $A$ ta có: $AQ=QE\cdot \sin \widehat{CEQ}.$

ABC vuông tại $A$ $\left(AB<AC\right)$. Kéo dài $CA$ một đoạn sao cho $AE=AB.$ Kẻ $EK\perp BC$$(K$ nằm trên đường thẳng $BC).$ (ảnh 2)">

Xét $\Delta ACQ$ vuông tại $A$ ta có: $AQ=CQ\cdot \sin \widehat{QCE}$.

Suy ra $QE\cdot \sin \widehat{CEQ}=CQ\cdot \sin \widehat{QCE}$

Do đó $$\frac{QE}{\sin \widehat{QCE}}=\frac{CQ}{\sin \widehat{CEQ}}.$$  (1)

Chứng minh tương tự ta có:

$CK=CQ\cdot \sin \widehat{EQC}=EC\cdot \sin \widehat{CEQ}$

Suy ra $$\frac{EC}{\sin \widehat{EQC}}=\frac{CQ}{\sin \widehat{CEQ}}.$$  (2)

Từ (1) và (2) ta có $$\frac{QE}{\sin \widehat{QCE}}=\frac{EC}{\sin \widehat{EQC}}=\frac{CQ}{\sin \widehat{CEQ}}.$$

Gọi $x,y$ lần lượt là chiều dài và chiều rộng của bể nước hình chữ nhật $\left(x>0,y>0\right).$

Tổng chiều dài và chiều rộng của bể là 60 m nên ta có $$x+y=60\left(\mathrm{m}\right).$$

Diện tích bể nước là: $xy\left({\mathrm{m}}^2\right).$

⦁ Chứng minh bất đẳng thức: $$ab\le {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2\left(\ast \right)$$ với $a,b$ là các số không âm.

Thật vậy, xét hiệu ${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2-ab=\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{4}=\frac{a^2-2ab+b^2}{4}=\frac{{\left(a-b\right)}^2}{2}$

Với mọi $a,b$ là các số không âm, ta có:

${\left(a-b\right)}^2\ge 0$ nên $\frac{{\left(a-b\right)}^2}{2}\ge 0$ suy ra ${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2\ge ab$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b.$ Như vậy bất đẳng thức $\left(\ast \right)$ đã được chứng minh.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức $\left(\ast \right)$ ta được:

$$xy\le {\left(\frac{x+y}{2}\right)}^2={\left(\frac{80}{2}\right)}^2=1600.$$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x=y$ và $$x+y=60$$ hay $$x^2=1600$$ tức là $x=y=40.$