Đề thi giữa kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức (Tự luận) – Đề 2 (có đáp án)

8 câu · Đề giữa kì 1

Đề tự luận: mỗi câu có đáp án tham khảo của đề gốc để bạn tự đối chiếu bài làm (không tính điểm).

Câu 1

Câu tự luận

Giải các phương trình sau:

a) $(2 x + 9) (\frac{2}{3} x - 5) = 0$ .

b) $\frac{x + 3}{x - 3} = \frac{3}{x ^{2} - 3 x} + \frac{1}{x} .$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) $(2 x + 9) (\frac{2}{3} x - 5) = 0$

$2 x + 9 = 0$ hoặc $\frac{2}{3} x - 5 = 0$

$2 x = - 9$ hoặc $\frac{2}{3} x = 5$

$x = - \frac{9}{2}$ hoặc $x = \frac{15}{2}$ .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là

x = - \frac{9}{2}; x = \frac{15}{2}

b) Điều kiện xác định $x \neq = 0; x \neq = 3.$

$\frac{x + 3}{x - 3} = \frac{3}{x ^{2} - 3 x} + \frac{1}{x}$

$\frac{( x + 3 ) x}{x ( x - 3 )} = \frac{3}{x ( x - 3 )} + \frac{x - 3}{x ( x - 3 )}$

$(x + 3) x = 3 + x - 3$

$x^{2} + 3 x = 3 + x - 3$

$x^{2} + 2 x = 0$

$x (x + 2) = 0$

$x = 0$ hoặc $x + 2 = 0$

$x = 0$ (không thỏa mãn) hoặc $x = - 2$ (thỏa mãn).

Vậy nghiệm phương trình đã cho là

x = - 2

Câu 2

Câu tự luận

Giải các bất phương trình sau:

a) $3 x - 8 > 4 x - 12.$

b) $\frac{2 x + 1}{3} - \frac{x - 4}{4} \leq \frac{3 x + 1}{6} - \frac{x - 4}{12} .$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) $3 x - 8 > 4 x - 12$

$3 x - 4 x > - 12 + 8$

$- x > - 4$

$x < 4$ .

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x < 4.$

b) $\frac{2 x + 1}{3} - \frac{x - 4}{4} \leq \frac{3 x + 1}{6} - \frac{x - 4}{12}$

$\frac{4 ( 2 x + 1 )}{12} - \frac{3 ( x - 4 )}{12} \leq \frac{2 ( 3 x + 1 )}{12} - \frac{x - 4}{12}$

$4 (2 x + 1) - 3 (x - 4) \leq 2 (3 x + 1) - (x - 4)$

$8 x + 4 - 3 x + 12 \leq 6 x + 2 - x + 4$

$5 x + 16 \leq 5 x + 6$

$5 x - 5 x \leq 6 - 16$

$0 x \leq - 10$ .

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 3

Câu tự luận

Cho hệ phương trình ${m x - n y = 1 x + m y = n$ với $m \neq = 0.$

a) Tất cả các nghiệm của phương trình $x + m y = n$ được biểu diễn bởi đồ thị của hàm số nào? Viết nghiệm tổng quát của phương trình đó.

b) Xác định cặp số $(m; n)$ để hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(- 1; 1) .$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Với $m \neq = 0,$ ta viết phương trình $x + m y = n$ về dạng $y = - \frac{1}{m} x + \frac{n}{m}$ .

Do đó đồ thị hàm số $y = - \frac{1}{m} x + \frac{n}{m}$ biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn $x + m y = n$ .

Nghiệm tổng quát của phương trình $x + m y = n$ là $(x; - \frac{1}{m} x + \frac{n}{m})$ với $x \in R$ tùy ý và $m \neq = 0.$

b) Để hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(- 1; 1)$ thì $x = - 1, y = 1$ thỏa mãn hệ phương trình đó.

Thay $x = - 1, y = 1$ vào hệ phương trình ${m x - n y = 1 x + m y = n$ ta được:

${m \cdot (- 1) - n \cdot 1 = 1 (- 1) + m \cdot 1 = n$ hay ${- m - n = 1 m - n = 1.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được:

$- 2 n = 2$ suy ra $n = - 1.$

Thay $n = - 1$ vào phương trình $m - n = 1,$ ta được:

$m - (- 1) = 1,$ suy ra $m = 0$ (không thỏa mãn $m \neq = 0) .$

Vậy không có cặp số $(m; n)$ nào thỏa mãn.

Câu 4

Câu tự luận

Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:

Có hai lọ dung dịch muối ăn với nồng độ lần lượt là $5%$ và $20%$ . Người ta pha trộn hai dung dịch trên để được $1000$ g dung dịch muối ăn có nồng độ $14%$ . Hỏi phải dùng bao nhiêu mỗi loại dung dịch muối ăn với nồng độ $5%$ và $20% ?$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Gọi $x$ (gam) và $y$ (gam) lần lượt là khối lượng dung dịch muối ăn với nồng độ $5%$ và $20%$ cần dùng $(0 < x < 1000, 0 < y < 1000)$ .

Theo bài, cần pha trộn hai dung dịch trên để được $1000$ g dung dịch muối ăn mới nên ta có phương trình $x + y = 1000$ . (1)

Khối lượng muối ăn trong $x$ (gam) dung dịch muối ăn $5%$ là $5% \cdot x = 0, 05 x$ (gam).

Khối lượng muối ăn trong $y$ (gam) dung dịch muối ăn $20%$ là $20% \cdot x = 0, 2 x$ (gam).

Khối lượng muối ăn trong $1000$ gam dung dịch muối ăn $14%$ là $1000 \cdot 14% = 140$ (gam).

Khi đó, ta có phương trình: $0, 05 x + 0, 2 y = 140$ . (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: ${x + y = 1000 (1) 0, 05 x + 0, 2 y = 140 (2)$

Nhân hai vế của phương trình (2) với 5, ta được hệ mới là ${x + y = 1000 0, 25 x + y = 700$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$0, 75 x = 300,$ suy ra $x = 400$ (thỏa mãn).

Thay $x = 400$ vào phương trình (1), ta được: $400 + y = 1000$ suy ra $y = 600$ (thỏa mãn).

Vậy cần trộn $400$ gam dung dịch muối ăn $5%$ với $600$ gam dung dịch muối ăn $20%$ để được $1000$ gam dung dịch muối ăn $14%.$

Câu 5

Câu tự luận

Trong một cuộc thi đố vui, ban tổ chức quy định mỗi người dự thi phải trả lời $10$ câu hỏi ở vòng sơ tuyển. Mỗi câu hỏi này có sẵn $4$ đáp án, nhưng trong đó chỉ có $1$ đáp án đúng. Người dự thi chọn đáp án đúng sẽ được $5$ điểm, chọn đáp án sai sẽ bị trừ $1$ điểm. Ở vòng sơ tuyển Ban tổ chức tặng cho mỗi người thi $10$ điểm và quy định người nào có tổng số điểm từ $40$ trở lên mới được dự thi vòng tiếp theo.

a) Gọi $x$ là số câu trả lời đúng $(0 \leq x \leq 10, x \in N) .$ Viết bất phương trình phù hợp với dữ liệu đã cho.

b) Hỏi người dự thi phải trả lời chính xác bao nhiêu câu hỏi ở vòng sơ tuyển thì mới được dự thi ở vòng sau?

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Số câu trả lời sai là: $10 - x$ (câu).

Số điểm người đó có được khi trả lời đúng $x$ (câu) là: $5 x$ (điểm).

Số điểm người đó bị trừ khi trả lời sai $10 - x$ (câu) là: $10 - x$ (điểm).

Như vậy, số điểm của người đó sau khi trả lời hết 10 câu hỏi là: $10 + 5 x - (10 - x)$ (điểm).

Theo bài, để được dự thi vòng tiếp theo thì người đó cần có tổng số điểm từ 40 điểm trở lên nên ta có bất phương trình:

$10 + 5 x - (10 - x) \geq 40.$

Vậy bất phương trình cần tìm là: $10 + 5 x - (10 - x) \geq 40.$

b) Giải bất phương trình:

$10 + 5 x - (10 - x) \geq 40$

$10 + 5 x - 10 + x \geq 40$

$6 x \geq 40$

$x \geq \frac{40}{6} (\approx 6, 666...)$ .

Vì $x$ là số nguyên nên $x \geq 7.$

Vậy người dự thi cần phải trả lời chính xác ít nhất 7 câu hỏi thì mới được dự thi ở vòng sau.

Câu 6

Câu tự luận

Một người đang ở trên tầng thượng của một tòa nhà quan sát con đường chạy thẳng đến chân tòa nhà. Anh ta nhìn thấy một người điều khiển chiếc xe máy đi về phía tòa nhà với phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc bằng $3 0^{\circ}$ . Sau $6$ phút, người quan sát vẫn nhìn thấy người điều khiển chiếc xe máy với phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc bằng $6 0^{\circ}$ . Hỏi sau bao nhiêu phút nữa thì xe máy sẽ chạy đến chân tòa nhà? Cho biết vận tốc xe máy không đổi.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Ta mô hình hóa bài toán như hình vẽ sau:

Một người đang ở trên tầng thượng của một tòa nhà quan sát con đường chạy thẳng đến chân tòa nhà (ảnh 1)

Do mặt đất là phương ngang nên $B C A = C B x = 3 0^{\circ}$ và $B D A = A B x - D B x = 9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ .

Xét $Δ A B C$ vuông tại $A$ , ta có:

$A C = A B \cdot cot B C A = A B \cdot cot 3 0^{\circ} = A B 3$ .

Xét $Δ A B D$ vuông tại $A$ , ta có:

$A D = A B \cdot cot B D A = A B \cdot cot 6 0^{\circ} = \frac{A B 3}{3}$ .

Suy ra $C D = A C - A D = A B 3 - \frac{A B 3}{3} = A B (3 - \frac{3}{3}) = A B \cdot \frac{2 3}{3} = \frac{2 A B 3}{3} = 2 A D$ .

Như vậy, quãng đường $C D$ gấp đôi quãng đường $D A .$ Mà thời gian di chuyển tỉ lệ thuận với quãng đường đi được khi vận tốc không đổi nên thời gian xe máy di chuyển từ $C$ đến $D$ gấp đôi thời gian xe máy di chuyển từ $D$ về $A$ .

Vậy thời gian để xe máy chạy từ $D$ đến tòa nhà là $\frac{6}{2} = 3$ (phút).

Câu 7

Câu tự luận

Cho tam giác $A B C$ có hai đường cao $A D$ và $B E$ cắt nhau tại $H$ thỏa mãn $\frac{H D}{H A} = \frac{1}{2} .$

a) Viết các tỉ số lượng giác của $A B E .$

b) Biết $A H = B D = 2 cm$ , tính số đo góc $B$ và độ dài cạnh $A B,$ độ dài đường cao $B E$ (làm tròn đến phút đối với số đo góc và làm tròn đến hàng phần mười đối với cm).

c) Chứng minh rằng $tan B \cdot tan C = 3$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Xét $Δ A B E$ vuông tại $E$ ta có:

$sin A B E = \frac{A E}{A B}, cos A B E = \frac{B E}{A B},$ $tan A B E = \frac{A E}{B E},$ $cot A B E = \frac{B E}{A E} .$

A B C

có hai đường cao

A D

và

B E

cắt nhau tại

H

thỏa mãn

\frac{H D}{H A} = \frac{1}{2} .

(ảnh 1)">

b) Do $\frac{H D}{H A} = \frac{1}{2}$ nên $A H = 2 H D$

Suy ra $A D = A H + H D = 2 H D + H D = 3 H D .$

Ta có $H D = \frac{1}{2} H A = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 (cm)$ và $A D = 3 H D = 3 \cdot 1 = 3 (cm) .$

Xét $Δ A B D$ vuông tại $D$ ta có:

⦁ $tan B = \frac{A D}{B D} = \frac{3}{2},$ từ đó ta tìm được $B \approx 5 6^{\circ} 1 9^{'}$ .

⦁ $A B^{2} = A D^{2} + B D^{2} = 3^{2} + 2^{2} = 13 (cm) .$

Xét $Δ H B D$ vuông tại $D$ ta có:

tan H B D = \frac{H D}{B D} = \frac{1}{2},

từ đó ta tìm được

B \approx 2 6^{\circ} 3 4^{'}

Suy ra $A B E = B - H B D \approx 5 6^{\circ} 1 9^{'} - 2 6^{\circ} 3 4^{'} = 2 9^{\circ} 4 5^{'}$ .

Xét $Δ A B E$ vuông tại $E$ ta có:

$B E = A B \cdot cos A B E \approx 13 \cdot cos 2 9^{\circ} 4 5^{'} \approx 3, 1 (cm) .$

c) Xét $Δ H B D$ và $Δ C A D$ có:

$H D B = C D A = 9 0^{\circ}$ và $H B D = C A D$ (do hai góc này cùng cộng với $C$ bằng $9 0^{\circ})$

Do đó (g.g)

Suy ra $\frac{H D}{C D} = \frac{B D}{A D}$ (tỉ số cạnh tương ứng) hay $B D \cdot C D = H D \cdot A D$ .

Xét $Δ A C D$ vuông tại $D$ ta có: $tan C = \frac{A D}{C D} .$

Khi đó $tan B \cdot tan C = \frac{A D}{B D} \cdot \frac{A D}{C D} = \frac{A D ^{2}}{B D \cdot C D} = \frac{A D ^{2}}{H D \cdot A D} = \frac{A D}{H D} = \frac{3 H D}{H D} = 3.$

Câu 8

Câu tự luận

Cho hình vuông $A B C D$ có diện tích không đổi và điểm M thay đổi trên đường chéo $A C,$ gọi $E, F$ lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ $M$ lên các cạnh $A B, B C$ của hình vuông $A B C D .$ Tìm vị trí của điểm $M$ để giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác $D E F$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Ta có: $S_{D E F} = S_{D E M} + S_{D M F} + S_{M E F};$ $S_{A E F C} = S_{A E M} + S_{M F C} + S_{M E F};$

$S_{D E M} = S_{A E M} (= \frac{1}{2} A E \cdot E M);$ $S_{D M F} = S_{M F C} (= \frac{1}{2} F C \cdot F M) .$

Suy ra $S_{D E F} = S_{A E F C} = S_{A B C} - S_{B E F} = \frac{1}{2} S_{A B C D} - \frac{1}{2} B E \cdot B F$

Chứng minh bất đẳng thức:

ab \leq (\frac{a + b}{2})^{2} (*)

với

a, b

là các số không âm.

Thật vậy, xét hiệu $(\frac{a + b}{2})^{2} - ab = \frac{a ^{2} + 2 ab + b ^{2} - 4 ab}{4} = \frac{a ^{2} - 2 ab + b ^{2}}{4} = \frac{( a - b ) ^{2}}{2}$

Với mọi $a, b$ là các số không âm, ta có:

$(a - b)^{2} \geq 0$ nên $\frac{( a - b ) ^{2}}{2} \geq 0$ suy ra $(\frac{a + b}{2})^{2} \geq ab$ .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b .$ Như vậy bất đẳng thức $(*)$ đã được chứng minh.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức $(*)$ vào tích $B E \cdot B F,$ ta được: $B E \cdot B F \leq (\frac{B E + B F}{2})^{2} .$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $B E = B F .$

Ta có tứ giác $B E M F$ là hình chữ nhật (do $B = E = F = 9 0^{\circ})$ nên $M E = B F .$

Xét $Δ A M E$ vuông tại $E$ có $E A M = 4 5^{\circ}$ (do $A C$ là đường chéo của hình vuông $A B C D$ nên $A C$ là tia phân giác của góc $B A D)$ nên $Δ A M E$ vuông cân tại $E$ .

Suy ra $A E = M E .$ Như vậy $B F = A E .$

Ta có: $B E \cdot B F \leq (\frac{B E + B F}{2})^{2} = (\frac{B E + E A}{2})^{2} = \frac{A B ^{2}}{4} = \frac{1}{4} S_{A B C D}$

Suy ra $S_{D E F} \geq \frac{1}{2} S_{A B C D} - \frac{1}{8} S_{A B C D} = \frac{3}{8} S_{A B C D} .$ (đơn vị diện tích).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $B E = B F = A E$ hay $E$ là trung điểm của $A B,$ lúc này từ tính chất đường trung bình ta suy ra được điểm $M$ phải là trung điểm của $A C$ .

Vậy nếu $M$ là trung điểm của $A C$ thì tam giác $D E F$ có diện tích nhỏ nhất.