Đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức (Tự luận) – Đề 1 (có đáp án)

1. a) Xét các phương trình trên, ta có các phương trình bậc hai một ẩn là:

$2x^2-5x-3=0$ và $x^2-7x+4=0.$

• Với phương trình $2x^2-5x-3=0$, ta có: $a=2;b=-5;c=-3$.

• Với phương trình $x^2-7x+4=0$, ta có: $a=1;b=-7;c=4.$

b) Giải phương trình $2x^2-5x-3=0$, ta có: $\Delta ={\left(-5\right)}^2-\mathrm{4.2.}\left(-3\right)=49>0$.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$x_1=\frac{5+\sqrt{49}}{4}=\frac{12}{4}=3$ và $x_2=\frac{5-\sqrt{49}}{4}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình $2x^2-5x-3=0$ là: $\left\{-\frac{1}{2};3\right\}.$

Giải phương trình $x^2-7x+4=0$, ta có: $\Delta ={\left(-7\right)}^2-4.4=33>0$.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$x_1=\frac{7+\sqrt{33}}{2}$ và $x_2=\frac{7-\sqrt{33}}{2}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình $x^2-7x+4=0$ là $\left\{\frac{7+\sqrt{33}}{2};\frac{7-\sqrt{33}}{2}\right\}$.

2. Gọi $x$ (g/cm3) là khối lượng riêng của chất lỏng I $\left(x>0,2\right).$

Khi đó, khối lượng riêng của chất lỏng II là $x-0,2$ (g/cm3).

Thể tích của chất lỏng I là: $\frac{8}{x}$ (cm3).

Thể tích của chất lỏng II là: $\frac{6}{x-0,2}$ (cm3).

Khối lượng hỗn hợp sau khi trộn là: $8+6=14$ (g).

Thể tích của hỗn hợp sau khi trộn là: $\frac{14}{0,7}=20$ (cm3).

Ta có phương trình: $\frac{8}{x}+\frac{6}{x-0,2}=20$.

Giải phương trình:

$\frac{8}{x}+\frac{6}{x-0,2}=20$

$\frac{8\left(x-0,2\right)}{x\left(x-0,2\right)}+\frac{6x}{x\left(x-0,2\right)}=\frac{20x\left(x-0,2\right)}{x\left(x-0,2\right)}$

$8\left(x-0,2\right)+6x=20x\left(x-0,2\right)$

$8x-1,6+6x=20x^2-4x$

$20x^2-18x+1,6=0$

$50x^2-45x+4=0$

Phương trình có $\Delta ={\left(-45\right)}^2-4\cdot 50\cdot 4=1225>0$ và $\sqrt{\Delta }=35.$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{45+35}{2\cdot 50}=0,8$ (thỏa mãn); $x_2=\frac{45-35}{2\cdot 50}=0,1$ (không thỏa mãn).

Vậy khối lượng riêng của chất lỏng I là $0,8$ g/cm3; khối lượng riêng của chất lỏng I là $0,8-0,2=0,6$ (g/cm3).

     a) Thay $x=-2,y=8$ vào $\left(P\right)$, ta được: $8=a.{\left(-2\right)}^2$ hay $4a=8$ nên $a=2.$

Vậy $a=2$ thì ta được hàm số $\left(P\right):y=2x^2$ đi qua điểm $A\left(-2;8\right).$

     b) Ta có bảng giá trị của hàm số $\left(P\right):y=2x^2$ như sau:

Do đó, đồ thị hàm số $\left(P\right):y=2x^2$ đi qua các điểm có tọa độ $\left(-2;8\right);\left(-1;2\right);\left(0;0\right);\left(1;2\right);$$\left(2;8\right)$.

Ta có đồ thị hàm số như sau:

(P):y=ax2(a=0). a) Tìm $a$ biết đồ thị của hàm số đi qua điểm $A\left(-2;8\right).$ b) Vẽ đồ thị hàm số với hệ số với hệ số $a$ vừa tìm được. c) Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số trên có tung độ $y=2.$ (ảnh 1)">

c) Ta có: $\left(P\right):y=2x^2$, thay $y=2,$ ta được: $2x^2=2$, suy ra $x^2=1$ nên $x=1$ hoặc $x=-1.$

Do đó, các điểm thuộc đồ thị hàm số $\left(P\right):y=2x^2$ có tung độ $y=2$ là $\left(1;2\right)$ và $\left(-1;2\right)$.

a) Phương trình $x^2-2mx-2m^2-1=0$ có ${\Delta }^{\prime }={\left(-m\right)}^2+2m^2+1=3m^2+1>0$ với mọi $m$.

Do đó, phương trình luôn có nghiệm.

b) Với $m=2,$ ta có: $x^2-4x-9=0$.

Ta có biệt thức ${\Delta }^{\prime }={\left(-2\right)}^2-\left(-9\right)=13>0$.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Đó là $x_1=2-\sqrt{13}$ và $x_2=2+\sqrt{13}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $\left\{2-\sqrt{13};2+\sqrt{13}\right\}$.

c) Xét phương trình $x^2-2mx-2m^2-1=0$ có:

${\Delta }^{\prime }={\left(-m\right)}^2-1\cdot \left(-2m^2-1\right)=m^2+2m^2+1=3m^2+1.$

Với mọi $m\in \mathbb{R}$ ta thấy $3m^2+1>0$ nên ${\Delta }^{\prime }>0.$

Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ với mọi giá trị của $m.$

Theo định lí Viète, ta có: $x_1+x_2=2m;x_1{x}_x=-2m^2-1.$

Ta có: $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=-3$

$\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1{x}_2}=-3$

$\frac{x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-2x_1{x}_2}{x_1{x}_2}=-3$

$\frac{{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2}{x_1{x}_2}=-3$

$\frac{{\left(2m\right)}^2-2\left(-2m^2-1\right)}{-2m^2-1}=-3$

$4m^2+4m^2+2=6m^2+3$

$2m^2=1$

$m^2=\frac{1}{2}$

$m=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (thỏa mãn) hoặc $m=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ (thỏa mãn).

Vậy $m\in \left\{\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2}\right\}.$

1.

ABC. Góc quay của phép quay thuận chiều kim đồng hồ với tâm $A$ biến điểm $B$ thành điểm $C$ là bao nhiêu độ? 2. Cho tam giác $ABC$ nhọn. Ba đường cao $AI,BK,CL$ cắt nhau tại $H.$ Chứng minh: a) Tứ giác $BIHL$ là tứ giác nội tiếp. b) $\widehat{AKL}=\widehat{IKC}.$ c) $H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $IKL.$ (ảnh 1)">

Xét $\Delta ABC$ đều có $AB=AC$ và $\widehat{BAC}=60^{\circ }$.

Phép quay thuận chiều kim đồng hồ với tâm $A$ biến điểm $B$ thành điểm $C$ tạo nên cung lớn $BC$ có số đo là:

$360°-\text{sđ}\stackrel{⏜}{BC}=360°-\widehat{BAC}=360°-60°=300°.$ 

Vậy góc quay của phép quay đó là $300^{\circ }.$

2.

ABC. Góc quay của phép quay thuận chiều kim đồng hồ với tâm $A$ biến điểm $B$ thành điểm $C$ là bao nhiêu độ? 2. Cho tam giác $ABC$ nhọn. Ba đường cao $AI,BK,CL$ cắt nhau tại $H.$ Chứng minh: a) Tứ giác $BIHL$ là tứ giác nội tiếp. b) $\widehat{AKL}=\widehat{IKC}.$ c) $H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $IKL.$ (ảnh 2)">

a) Vì $AI,CL$ là đường cao của tam giác $ABC$ nên $AI\perp BC$ và $CL\perp AB.$ Do đó $\widehat{AIB}=\widehat{BLC}=90^{\circ }$ hay $\widehat{HIB}=\widehat{BLH}=90^{\circ }$.

Suy ra hai điểm $I,L$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $BH.$

Vậy bốn điểm $B,I,L,H$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $BH$ hay tứ giác $BIHL$ nội tiếp đường tròn đường kính $BH.$

b) Chứng minh tương tự câu 1, ta có tứ giác $CIHK$ nội tiếp đường tròn đường kính $CH.$

Điều kiện: $-1\le x\le 1$.

Ta có: $6\sqrt{1-x^2}-4x=3\left(\sqrt{1+x}-1\right)$

$6\sqrt{\left(1+x\right)\left(1-x\right)}-4x=3\left(\sqrt{1+x}-1\right)$.

Đặt $a=\sqrt{1+x};b=\sqrt{1-x}\left(a,b\ge 0\right)$

Phương trình trở thành $6ab-4\left(1-b^2\right)=3\left(a-1\right)$

$6ab+4b^2-4-3a+3=0$

$3a\left(2b-1\right)+\left(2b-1\right)\left(2b+1\right)=0$

$\left(2b-1\right)\left(3a+2b+1\right)=0$

Vì $a,b\ge 0$ nên $3a+2b+1>0$.

Do đó, $2b-1=0$ nên $b=\frac{1}{2}.$

Suy ra $\sqrt{1-x}=\frac{1}{2}$ nên ${\left(\sqrt{1-x}\right)}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2$ hay $1-x=\frac{1}{4}$, do đó $x=\frac{3}{4}$ (thỏa mãn).

Vậy $x=\frac{3}{4}$.