Đề kiểm tra giữa kì 2 Toán 8 có đáp án ( Mới nhất)_ đề số 13

5 câu · Đề giữa kì 2

Đề tự luận: mỗi câu có đáp án tham khảo của đề gốc để bạn tự đối chiếu bài làm (không tính điểm).

Câu 1

Câu tự luận

Giải phương trình:

a) 7 + 2x = 32 – 3x;

b) $\frac{x + 4}{5} - x + 4 = \frac{x}{3} - \frac{x - 2}{2}$ ;

c) x² + (x + 3)(x – 5) = 9;

d) $\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{3}{x + 2} + \frac{3 x + 10}{4 - x^{2}} = 0$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) 7 + 2x = 32 – 3x

Û 2x + 3x = 32 – 7

Û 5x = 25

Û x = 5

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {5};

b) $\frac{x + 4}{5} - x + 4 = \frac{x}{3} - \frac{x - 2}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{6 (x + 4)}{30} - \frac{30 x}{30} + \frac{4.30}{30} = \frac{10. x}{30} - \frac{15 (x - 2)}{30} \Leftrightarrow \frac{6 x + 24}{30} - \frac{30 x}{30} + \frac{120}{30} = \frac{10 x}{30} - \frac{15 x - 30}{30} \Leftrightarrow \frac{6 x + 24 - 30 x + 120}{30} = \frac{10 x - 15 x + 30}{30}$

Û 6x + 24 – 30x + 120 = 10x – 15x + 30

Û –24x + 144 = –5x + 30

Û 24x – 5x = 144 – 30

Û 19x = 114

Û x = 6

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {6};

c) x² + (x + 3)(x – 5) = 9

Û x² – 9 + (x + 3)(x – 5) = 0

Û (x – 3)(x + 3) + (x + 3)(x – 5) = 0

Û (x + 3) [(x – 3) + (x – 5)] = 0

Û (x + 3) (x – 3 + x – 5) = 0

Û (x + 3) (2x – 8) = 0

$\Leftrightarrow (\begin{matrix} x + 3 = 0 \\ 2x - 8 = 0 \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} x = - 3 \\ 2x = 8 \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} x = - 3 \\ x = 4 \end{matrix})$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {– 3; 4};

d) $\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{3}{x + 2} + \frac{3 x + 10}{4 - x^{2}} = 0$

Điều kiện xác định:

$(\begin{matrix} x - 2 \neq 0 \\ x + 2 \neq 0 \\ 4 - x^{2} \neq 0 \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} x - 2 \neq 0 \\ x + 2 \neq 0 \\ (x - 2) (x + 2) \neq 0 \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} x \neq 2 \\ x \neq - 2 \end{matrix})$

Ta có: $\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{3}{x + 2} + \frac{3 x + 10}{4 - x^{2}} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{x + 2}{x - 2} - \frac{3}{x + 2} - \frac{3 x + 10}{x^{2} - 4} = 0 \Leftrightarrow \frac{x + 2}{x - 2} - \frac{3}{x + 2} - \frac{3 x + 10}{x^{2} - 4} = 0 \Leftrightarrow \frac{(x + 2) (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)} - \frac{3 (x - 2)}{(x - 2) (x + 2)} - \frac{3 x + 10}{(x - 2) (x + 2)} = 0 \Leftrightarrow \frac{{(x + 2)}^{2}}{(x - 2) (x + 2)} - \frac{3 x - 6}{(x - 2) (x + 2)} - \frac{3 x + 10}{(x - 2) (x + 2)} = 0 \Leftrightarrow \frac{{(x + 2)}^{2} - (3 x - 6) - (3 x + 10)}{(x - 2) (x + 2)} = 0$

Þ (x + 2)² – (3x – 6) – (3x + 10) = 0

Û (x + 2)² – 3x + 6 – 3x – 10 = 0

Û (x + 2)² – 6x – 4 = 0

Û x² + 4x + 4 – 6x – 4 =0

Û x²– 2x = 0

Û x.(x – 2) = 0

$\Leftrightarrow (\begin{matrix} x = 0 \\ x - 2 = 0 \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 (L) \end{matrix})$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {0}.

Câu 2

Câu tự luận

Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 12 km/h. Khi từ B trở về A người đó đi theo con đường khác ngắn hơn con đường cũ là 5 km và vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi là 2 km/h. Tính chiều dài quãng đường AB lúc đi biết thời gian lúc đi ít hơn thời gian lúc về là 40 phút.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Gọi x (km) là chiều dài quãng đường AB lúc đi (x > 0).

Chiều dài quãng đường tắt từ B về A ngắn hơn đường lúc đi 5 km là x – 5 (km).

Vận tốc lúc đi về từ B đến A nhỏ hơn vận tốc lúc đi là: 12 – 2 = 10 (km/h).

Thời gian người đi xe đạp đi hết quãng đường từ A đến B là:

t_AB = $t_{A B} = \frac{x}{12}$ (h).

Thời gian người đi xe đạp đi hết quãng đường tắt từ B về A là:

t_BA = $\frac{x - 5}{10}$ (h).

Đổi 40 phút = $\frac{2}{3}$ giờ.

Vì thời gian lúc đi từ A đến B ít hơn thời gian lúc đi từ B về A là 40 phút nên ta có phương trình:

$\frac{x - 5}{10} - \frac{x}{12} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{6 (x - 5)}{60} - \frac{5 x}{60} = \frac{40}{60} \Leftrightarrow \frac{6 (x - 5) - 5 x}{60} = \frac{40}{60}$

Û 6x – 30 – 5x = 40

Û 6x – 5x = 40 + 30

Û x = 70 (thoản mãn)

Vậy chiều dài quãng đường AB lúc đi là 70 km.

Câu 3

Câu tự luận

a) Tìm x trên hình vẽ biết DE ̸̸̸̸ ̸ BC.

b) Tính y trong hình biết AD là tia phân giác góc

\hat{B A C}

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Theo hình vẽ ta có: AB = AD + DB = 2 + 3 = 5.

Áp dụng hệ quả định lý Ta – let trong ∆ABC có DE // BC, D Î AB, E Î AC ta có:

$\frac{A D}{A B} = \frac{D E}{B C}$

$\Rightarrow D E = \frac{A D . B C}{A B} = \frac{2.6, 5}{5} = 2, 6$ .

Vậy x = 2,6.

b) Trong ∆ABC có AD là tia phân giác góc $\hat{B A C}$ , D Î BC ta có:

$\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{D C} \Rightarrow D C = \frac{A C . B D}{A B} = \frac{7.2}{5} = 2, 8$

Vậy y = 2,8.

Câu 4

Câu tự luận

Cho tam giác ABC, vuông tại A (AB < AC). Vẽ đường cao AH (H Î BC). Lấy điểm D sao cho H là trung điểm BD.

a) Chứng minh ∆ABC $∽$ ∆HBA;

b) Qua C dựng đường thẳng vuông góc với tia AD, cắt AD tại E. Chứng minh AH.CD = CE.AD;

c) Chứng minh ∆HDE $∽$ ∆ADC và BD.AC = 2AD.HE;

d) AH cắt CE tại F. Chứng minh AF²= 2BF.AE.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Cho tam giác ABC, vuông tại A (AB < AC). Vẽ đường cao AH (H thuộc BC). Lấy điểm D sao cho (ảnh 1)

a) Xét ∆ABC và ∆HBA có:

$\hat{B A C} = \hat{B H A} = 90^{o}$ (gt)

$\hat{A B C}$ chung (gt)

Do đó ∆ABC

∽

∆HBA (g.g);

b) Xét ∆ADH và ∆CDE có:

$\hat{A H D} = \hat{C E D}$ = 90^o (gt)

$\hat{A D H} = \hat{C D E}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆ADH $∽$ ∆CDE (g.g).

Suy ra $\frac{A H}{C E} = \frac{A D}{C D}$ (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

Vậy: AH.CD = CE.AD (đccm)

c) Ta có: ∆ADH $∽$ ∆CDE (câu b)

Suy ra $\frac{D H}{D E} = \frac{D A}{D C}$ (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

Xét ∆HDE và ∆ADC có:

$\frac{D H}{D E} = \frac{D A}{D C}$ (cmt)

$\hat{H D E} = \hat{A D C}$ (hai góc đối đỉnh)

Suy ra ∆HDE $∽$ ∆ADC (c.g.c)

Suy ra $\frac{H D}{H E} = \frac{A D}{A C}$ (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

Do đó HD.AC = AD.HE

Mặc khác H là trung điểm của BD (gt) $\Rightarrow H D = \frac{B D}{2}$ ;

Suy ra: HD.AC = $\frac{B D}{2}$ .AC = AD.HE

Vậy BD.AC = 2AD.HE.

d) Vì AH vừa là đường cao vừa là trung tuyến của BD nên AH là trung trực của BD.

Suy ra ∆ADB cân tại A và AH là phân giác của $\hat{B A D}$ hay $\hat{B A H} = \hat{H A D}$ .

Từ câu a: ∆ABC $∽$ ∆HBA suy ra $\hat{B A H} = \hat{B C A}$ (hai góc tương ứng);

Từ câu b: ∆ADH $∽$ ∆CDE suy ra $\hat{H A D} = \hat{E C D}$ (hai góc tương ứng).

Do đó $\hat{A C H} = \hat{H C F}$ hay CH là phân giác của $\hat{A C F}$ .

Mặc khác HC vừa là đường cao của ∆ACF nên HC là trung trực của AF.

Hay BC là đường trung trực của đoạn thẳng AF.

Do đó BA = BF.

Suy ra ∆ABF cân tại B có $\hat{B A H} = \hat{B F H}$ .

Xét ∆BHF và ∆FEA có:

$\hat{B F H} = \hat{F A E} = \hat{B A H}$ (cmt)

$\hat{B H F} = \hat{F E A}$ = 90^o (gt)

Suy ra ∆BHF $∽$ ∆FEA (g.g)

Suy ra $\frac{B F}{H F} = \frac{F A}{E A} = \frac{A F}{A E}$ (các cạnh tương ứng tỉ lệ).

Do đó BF.AE = HF.AF.

Vì H là trung trực AF nên $H F = \frac{A F}{2}$ .

Suy ra $B F . A E = \frac{A F}{2} . A F$

Do đó AF²= 2BF.AE (đpcm).

Câu 5

Câu tự luận

Cho x = by + cz (1); y = ax + cz (2); z = ax + by (3) và x + y + z ≠ 0; xyz ≠ 0.

Chứng minh đẳng thức

\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c} = 2

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

x = by + cz (1); y = ax + cz (2); z = ax + by (3) và x +y + z ≠ 0; xyz ≠ 0.

Lấy (1) trừ (2), ta được:

x – y = (by + cz) − (ax + cz)

Û x – y = by – ax + cz – cz

Û x – y = by – ax

Û x + ax = by + y

Û x(a + 1) = y(b + 1) (*)

Lấy (2) trừ (3), ta được:

y – z = (ax + cz) − (ax + by)

Û y – z = ax – ax + cz – by

Û y – z = cz – by

Û y + by = z + cz

Û y(b + 1) = z (c + 1) (**)

Lấy (1) trừ (3), ta được:

x – z = (by + cz) − (ax + by)

Û x – z by – by + cz – ax

Û x – z = cz – ax

Û x + ax = cz + z

Û x(1 + a) = z(c + 1) (***)

Từ (*), (**), (***) suy ra: x(a + 1) = y(b + 1) = z(c + 1)

Đặt x(a + 1) = y(b + 1) = z(c + 1) = t

$\Rightarrow (\begin{matrix} a + 1 = \frac{t}{x} \\ b + 1 = \frac{t}{y} \\ c + 1 = \frac{t}{z} \end{matrix})$ (do x, y, z ≠ 0)

Thay vào biểu thức $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c}$ , ta được:

$\frac{1}{\frac{t}{x}} + \frac{1}{\frac{t}{y}} + \frac{1}{\frac{t}{z}} = \frac{x}{t} + \frac{y}{t} + \frac{z}{t} = \frac{x + y + z}{t} \Rightarrow \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c} = \frac{x + y + z}{t}$

Với x = by + cz (1); y = ax + cz (2); z = ax + by (3)

t = x(a+1) = ax + x = ax + by + cz

Ta có:

\frac{x + y + z}{t} = \frac{b y + c z + a x + c z + a x + b y}{a x + b y + c z}

= \frac{a x + a x + b y + b y + c z + c z}{a x + b y + c z} = \frac{2 a x + 2 b y + 2 c z}{a x + b y + c z} = \frac{2 (a x + b y + c z)}{a x + b y + c z} = 2

Vậy

\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c} = 2