Đề thi cuối kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT Phan Huy Chú (Đống Đa-Hà Nội) có đáp án

21 câu · Đề cuối kì 1

3/21 câu đang cập nhật đáp án (ghi rõ ở từng câu), chưa tính điểm; điểm tính trên 18 câu còn lại.

Câu 1

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có số hạng đầu $u_{1} = 3$ và công sai $d = 6$ . Số hạng tổng quát của cấp số cộng đã cho là

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 2

Trong các dãy số hữu hạn sau, dãy số nào là cấp số nhân?

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 3

Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ (như hình vẽ dưới đây).

Cho hình hộp ABCD.A

Khẳng định nào sau đây là sai?

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 4

Giá trị $x \to 1 lim \frac{3 x ^{2} - 4 x + 1}{x - 1}$ bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 5

Giá trị của

lim \frac{n ^{2} + n + 1}{3 n ^{2} - 2 n}

bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 6

Khẳng định nào dưới đây đúng?

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 7

Cho hình chóp

S . A B C D

có

A B C D

là hình thoi. Gọi

M

là trung điểm

S A

, điểm

N

thuộc

A D

sao cho

M N

song song với mặt phẳng

(S B D)

. Giao tuyến của mặt phẳng

(S N B)

và mặt phẳng

(M B D)

là

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 8

Cho tứ giác $A B C D$ có $A C$ và $B D$ giao nhau tại $O$ và một điểm $S$ không thuộc mặt phẳng $(A B C D)$ . Trên đoạn $S C$ lấy một điểm $M$ không trùng với $S$ và $C$ (tham khảo hình vẽ).

Cho tứ giác ABCD có AC và BD giao nhau tại O và một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Trên đoạn SC lấy một điểm M không trùng với S và C (tham khảo hình vẽ). Giao điểm của đường thẳng SD (ảnh 1)

Giao điểm của đường thẳng $S D$ và mặt phẳng $(A B M)$ là

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 9

Khẳng định nào dưới đây đúng?

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 10

Cho tứ diện $A B C D$ . Các điểm $M, N$ lần lượt là trung điểm $B D, A D$ . Đường thẳng $M N$ chéo nhau với đường thẳng nào sau đây?

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 11

Trong các dãy số

(u_{n})

cho bởi công thức số hạng tổng quát sau, dãy số nào là dãy số giảm?

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 12

Phương trình

2 cos (x + \frac{π}{3}) - 2 = 0

có tất cả các nghiệm là

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 13

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (2 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , các điểm $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A^{'} D^{'}, C^{'} D^{'}$ và $B C$ .

a)
Giao tuyến của hai mặt phẳng $(M N P)$ và $(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ là đường thẳng $M N$ .
b)
Mặt phẳng $(α)$ đi qua $M P$ và song song với mặt phẳng $(A B B^{'} A^{'})$ . Gọi $E, F$ lần lượt là giao điểm của $A D$ và $B^{'} C^{'}$ với mặt phẳng $(α)$ . Nếu tất cả các cạnh của hình hộp bằng $9 cm$ thì chu vi tứ giác $M E P F$ bằng $18 cm$ .
c)
Mặt phẳng $(B A^{'} C^{'})$ song song với mặt phẳng $(M N P)$ .
d)
Đường thẳng $B M$ song song với mặt phẳng $(B^{'} P D^{'})$ .

Đáp án và lời giải

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng

Câu 14

Anh Huy sau khi ra trường và xin vào làm cho một công ty với mức lương khởi điểm là

102

triệu đồng một năm. Cứ sau mỗi năm, công ty trả cho anh Huy số tiền gấp

1, 2

lần số tiền năm trước đó. Gọi

u_{n}

(triệu đồng) là số tiền lương mà anh nhận được năm thứ

n

. (Giả thiết anh Huy làm việc liên tục ở công ty đó trong

n

năm mà không nghỉ).

a)
Số tiền lương anh Huy nhận được năm thứ ba là $122, 4$ triệu đồng.
b)
Tổng số tiền lương anh Huy nhận được sau 6 năm là trên $1$ tỉ đồng.
c)
Dãy số $(u_{n})$ là cấp số nhân có $u_{1} = 102$ và công bội $q = 1, 2$ .
d)
Giả sử mỗi năm, anh Huy tiết kiệm được 35% số tiền lương nhận được thì sau ít nhất 8 năm đi làm anh Huy đủ tiền mua được 1 chiếc xe ô tô VF5 trị giá $537$ triệu đồng.

Đáp án và lời giải

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng

Câu 15

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.

Chị Lan đang luyện gõ bàn phím để tăng tốc độ làm việc. Ngày đầu tiên, chị Lan gõ được 250 từ và mỗi ngày sau chị đều gõ nhiều hơn ngày trước đó 15 từ. Chị Lan tiếp tục luyện tập như vậy cho đến khi tổng số từ đã gõ đạt ít nhất 42500 từ. Hỏi vào ngày cuối cùng của quá trình luyện tập này (ngày mà tổng số từ đã gõ lần đầu tiên đạt ít nhất 42500 từ), chị Lan đã gõ được bao nhiêu từ trong ngày đó?

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 16

Một khối gỗ được nghệ nhân chạm thành hình một khối chóp tứ giác $S . A B C D$ có các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng $50 cm$ . Nghệ nhân đó tiếp tục dùng cưa cắt khối gỗ thành 2 phần theo mặt phẳng $(α)$ đi qua trung điểm của $D C$ và song song với mặt phẳng $(S A D)$ . Diện tích mặt cắt của khối gỗ bằng bao nhiêu xăng-ti-mét vuông? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 17

Tổng $S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 ^{2}} + \frac{1}{3 ^{3}} + \dots + \frac{1}{3 ^{n}} + \dots$ bằng bao nhiêu?

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 18

Giá trị $x \to 2 lim \frac{4 x + 1 + 5 - 4 x}{2 - x} = \frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản, $a, b \in N$ . Khi đó, tổng $a + b$ bằng bao nhiêu?

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 19

Câu tự luận

PHẦN IV. TỰ LUẬN (3 điểm)

(1 điểm). Cho cấp số cộng $(u_{n})$ biết ${u_{1} + u_{6} = 40 u_{3} + u_{7} = 52$ .

a) Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng $(u_{n})$ đó.

b) Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng $(u_{n})$ đã cho.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Ta có công thức số hạng tổng quát: $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ .

Hệ phương trình đã cho tương đương: ${u_{1} + u_{1} + 5 d = 40 u_{1} + 2 d + u_{1} + 6 d = 52 \Leftrightarrow {2 u_{1} + 5 d = 40 2 u_{1} + 8 d = 52$ .

Trừ vế theo vế phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất: $3 d = 12 \Leftrightarrow d = 4$ .

Thay $d = 4$ vào phương trình $2 u_{1} + 5 d = 40$ ta được: $2 u_{1} + 5 \cdot 4 = 40 \Leftrightarrow 2 u_{1} = 20 \Leftrightarrow u_{1} = 10$ .

Vậy số hạng đầu $u_{1} = 10$ và công sai $d = 4$ .

b) Tổng của 10 số hạng đầu tiên là: $S_{10} = \frac{10}{2} [2 u_{1} + 9 d] = 5 \cdot [2 \cdot 10 + 9 \cdot 4] = 5 \cdot (20 + 36) = 5 \cdot 56 = 280$ .

Câu 20

Câu tự luận

(1 điểm). Tính các giới hạn sau:

a) $lim \frac{3 n ^{2} - 2 n + 5}{4 n ^{2} + 7}$ ;

b) $x \to 2 lim \frac{x + 23 - 5}{x ^{2} - 4}$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Chia cả tử và mẫu cho $n^{2}$ : $lim \frac{3 n ^{2} - 2 n + 5}{4 n ^{2} + 7} = lim \frac{3 - \frac{2}{n} + \frac{5}{n ^{2}}}{4 + \frac{7}{n ^{2}}} = \frac{3}{4}$ .

b) $x \to 2 lim \frac{x + 23 - 5}{x ^{2} - 4} = x \to 2 lim \frac{( x + 23 - 5 ) ( x + 23 + 5 )}{( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x + 23 + 5 )}$ $= x \to 2 lim \frac{( x + 23 ) - 25}{( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x + 23 + 5 )}$

$= x \to 2 lim \frac{x - 2}{( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x + 23 + 5 )}$ $= x \to 2 lim \frac{1}{( x + 2 ) ( x + 23 + 5 )} = \frac{1}{40}$ .

Câu 21

Câu tự luận

(1 điểm). Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình bình hành. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $B C D$ , $M, N$ lần lượt thuộc các cạnh $B C, S C$ sao cho $\frac{B M}{B C} = \frac{S N}{S C} = \frac{1}{3}$ .

a) Chứng minh $(GM N) // (S B D)$ .

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(S D C)$ và mặt phẳng $(GM N)$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, M, N lần lượt thuộc các cạnh BC, SC sao cho BM/BC = SN/SC = 1/3. a) Chứng minh (GMN) song song với (SBD). (ảnh 1)

a) Gọi $O$ là giao điểm của $A C$ và $B D$ . Khi đó $C O$ là đường trung tuyến của .

Vì $G$ là trọng tâm nên: $\frac{C G}{C O} = \frac{2}{3}$ .

Mặt khác, $M \in B C$ sao cho $\frac{B M}{B C} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{C M}{C B} = \frac{2}{3}$ .

Trong , ta có: $\frac{C G}{C O} = \frac{C M}{C B} = \frac{2}{3} \Rightarrow GM // B O \Rightarrow GM // B D$ .

Vì $B D \subset (S B D)$ nên $GM // (S B D)$ $(1)$ .

Tương tự, $N \in S C$ sao cho $\frac{S N}{S C} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{C N}{C S} = \frac{2}{3}$ .

Trong , ta có: $\frac{C N}{C S} = \frac{C M}{C B} = \frac{2}{3} \Rightarrow M N // S B$ .

Vì $S B \subset (S B D)$ nên $M N // (S B D)$ $(2)$ .

Từ $(1)$ và $(2)$ , vì $GM \cap M N = M$ và cùng nằm trong $(GM N)$ , suy ra: $(GM N) // (S B D)$ .

b) Xét hai mặt phẳng $(S D C)$ và $(GM N)$ :

Điểm $N \in S C \subset (S D C)$ và $N \in (GM N)$ , nên $N$ là một điểm chung.

Trong tam giác $B C D$ , kéo dài $M G$ cắt $C D$ tại $K$ .

Khi đó $K \in M G \subset (GM N)$ và $K \in C D \subset (S D C)$ , nên $K$ là điểm chung thứ hai.

Do đó, giao tuyến của $(S D C)$ và $(GM N)$ là đường thẳng $N K$ .

Hơn nữa $S D \subset (S D C)$ và $(GM N) // (S B D) \Rightarrow (GM N) // S D$ .

Vậy giao tuyến của $(S D C)$ và $(GM N)$ là đường thẳng $N K$ song song với $S D$ .