Đề thi Cuối kì 1 Toán 8 THCS Giảng Võ (Hà Nội) năm 2023-2024 có đáp án

12 câu · Đề cuối kì 1

4/12 câu đang cập nhật đáp án (ghi rõ ở từng câu), chưa tính điểm; điểm tính trên 8 câu còn lại.

Câu 1

I. TRẮC NGHIỆM

Khai triển $(x - 3)^{3}$ ta được kết quả là:

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 2

Các giá trị của $x$ thỏa mãn $x^{3} - 81 x = 0$ là

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 3

Đa thức $P$ thỏa mãn $P + (x - 1) (x^{2} + x + 1) = x^{3}$ là

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 4

Phân tích đa thức $x^{2} - 4 y^{2}$ thành nhân tử được kết quả là

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 5

Cho tứ giác $A B C D$ có $M, N, P, Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A B, B C, C D, A D$ . Tứ giác $M N P Q$ là hình gì?

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 6

Cho $Δ A B C$ vuông tại đỉnh $A$ và $B = 5 8^{\circ} .$ Trên cạnh $A B$ lấy điểm $M$ sao cho $A B = 3 M B$ . Trên cạnh $A C$ lấy điểm $N$ sao cho $A N = 2 N C$ . Số đo $A N M$ là

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 7

Dữ liệu nào sau đây là số liệu liên tục?

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 8

Trong các phương pháp thu thập dữ liệu sau, phương pháp nào là thu thập trực tiếp?

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 9

Câu tự luận

II. TỰ LUẬN

1) Rút gọn biểu thức $A = (x + 1) (x^{2} - x + 1) + x (1 - x^{2}) .$

2) Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $B = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8,$ với $x = - 102.$

b) $C = 4 x^{2} - 4 x y + y^{2} + 12 x - 6 y + 9,$ với $2 x - y = 5.$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Hướng dẫn giải

1) Ta có: $A = (x + 1) (x^{2} - x + 1) + x (1 - x^{2}) = x^{3} + 1 + x - x^{3} = 1 + x$ .

a) Ta có $B = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8 = (x + 2)^{3}$

Thay $x = - 102$ vào biểu thức $B$ ta được: $B = (- 102 + 2)^{2} = 10000$ .

Vậy $B = 10000$ khi $x = - 102$ .

b) Ta có $C = 4 x^{2} - 4 x y + y^{2} + 12 x - 6 y + 9 = (2 x - y)^{2} + 6 (2 x - y) + 9 = (2 x - y + 3)^{2} .$

Thay $2 x - y = 5$ vào biểu thức $C$ ta được $C = (5 + 3)^{2} = 64$ .

Vậy $C = 64$ khi $2 x - y = 5$ .

Câu 10

Câu tự luận

1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^{2} - y^{2} + 2 x + 1$ . b) $a^{3} - 4 a^{2} + 4 a$ .

2) Tìm các giá trị của $x$ , biết:

a) $(x^{2} - 3 x) (x + 1) = 0$ . b) $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) $x^{2} - y^{2} + 2 x + 1$ $= (x^{2} + 2 x + 1) - y^{2}$ $= (x + 1)^{2} - y^{2}$ $= (x + 1 + y) (x + 1 - y) .$

b) $a^{3} - 4 a^{2} + 4 a$ $= a (a^{2} - 4 a + 4)$ $= a (a - 2)^{2} .$

a) $(x^{2} - 3 x) (x + 1) = 0$

b) $x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Trường hợp 1:

$x^{2} - 3 x = 0$

$x (x - 3) = 0$

Suy ra $x = 0$ hoặc $x - 3 = 0$

Do đó $x = 0$ hoặc $x = 3.$

Vậy $x \in {- 1; 0; 3} .$

Trường hợp 2:

$x + 1 = 0$

$x = - 1.$

$x^{2} + x - 3 x - 3 = 0$

$x (x + 1) - 3 (x + 1) = 0$

$(x + 1) (x - 3) = 0$

Suy ra $x + 1 = 0$ hoặc $x - 3 = 0$

Do đó $x = - 1$ hoặc $x = 3.$

Vậy $x \in {- 1; 3}$ .

Câu 11

Câu tự luận

1) Cho hình vẽ bên. Tính khoảng cách giữa hai điểm $B$ và $C$ , biết $D E = 21, 3 m .$

2) Cho tam giác $A B C$ có $M$ là trung điểm của cạnh $B C .$ Trên đoạn thẳng $A M$ lấy điểm $G$ sao cho $G A = 2 GM .$ Kẻ đường thẳng $d$ bất kì đi qua điểm $G,$ cắt các đoạn thẳng $A B, A C$ lần lượt tại các điểm $E$ và $F (E \neq = A, B) .$ Qua các điểm $B, C$ vẽ các đường thẳng song song với đường thẳng $E F$ cắt đường thẳng $A M$ lần lượt tại các điểm $H, K .$

a) Chứng minh $B H = C K .$

b) Chứng minh $G H + G K = 2 GM$ và $\frac{B E}{A E} + \frac{C F}{A F} = 1.$

c) Nếu cho biết $\frac{B E}{A E} . \frac{C F}{A F} = \frac{1}{4},$ chứng minh khi đó đường thẳng $d$ song song với đường thẳng $B C .$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Hướng dẫn giải

1) Xét $Δ A B C$ có: $D, E$ lần lượt là trung điểm của $A B, A C$ (gt) nên $D E$ là đường trung bình của $Δ A B C,$ do đó $D E = \frac{B C}{2}$ (định lí).

Thay số: $21, 3 = \frac{B C}{2},$ suy ra $B C = 21, 3.2 = 42, 6 (cm) .$

Vậy khoảng cách giữa hai điểm $B$ và $C$ là $42, 6 cm .$

a) Ta có $B H // d, C K // d$ nên $B H // C K,$ suy ra $H B M = K C M$ (hai góc so le trong).

$Δ B H M$ và $Δ C K M$ có:

$H B M = K C M;$

$B M = C M;$

$B M H = C M K$

Do đó $Δ B H M = Δ C K M$ (g.c.g).

Suy ra $B H = C K$ (hai cạnh tương ứng).

b) ⦁ Ta có $G H + G K = G H + (G H + H K) = 2 G H + H K$

$= 2 G H + 2 H M = 2 (G H + H M) = 2 GM$ .

⦁ Vì $Δ B H M = Δ C K M$ nên $H M = K M$ (hai cạnh tương ứng) suy ra $H K = 2 H M .$

$Δ A B H$ có $E G // B H$ nên $\frac{B E}{A E} = \frac{G H}{G A}$ (định lí Thalès) ;

$Δ A K C$ có $C K // GF$ nên $\frac{C F}{A F} = \frac{G K}{G A}$ (định lí Thalès).

Do đó $\frac{B E}{A E} + \frac{C F}{A F} = \frac{G H}{G A} + \frac{G K}{G A} = \frac{G H + G K}{G A} = \frac{2 GM}{G A} = \frac{G A}{G A} = 1.$

c) Ta có $\frac{B E}{A E} + \frac{C F}{A F} = 1$ nên $\frac{B E}{A E} = 1 - \frac{C F}{A F}$

Mà $\frac{B E}{A E} \cdot \frac{C F}{A F} = \frac{1}{4}$ nên $(1 - \frac{C F}{A F}) \cdot \frac{C F}{A F} = \frac{1}{4}$ suy ra $\frac{C F}{A F} - (\frac{C F}{A F})^{2} = \frac{1}{4}$

Khi đó $(\frac{C F}{A F})^{2} - \frac{C F}{A F} + \frac{1}{4} = 0$ hay $(\frac{C F}{A F} - \frac{1}{2})^{2} = 0$ do đó $\frac{C F}{A F} = \frac{1}{2}$

Suy ra $\frac{B E}{A E} = 1 - \frac{C F}{A F} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} .$

Xét $Δ A B C$ có $\frac{B E}{A E} = \frac{C F}{A F} = \frac{1}{2}$ nên $E F // B C$ hay $d // B C .$

Câu 12

Câu tự luận

1) Cho đa thức $P (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + 1.$ Tìm các số $a, b, c$ sao cho $P (x + 1) - P (x) = x^{2},$ với mọi $x \in R$ .

2) Áp dụng: tính tổng $A = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2}$ , với $n$ là số nguyên dương.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

1) Ta có: $P (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + 1$

Suy ra $P (x + 1) = a (x + 1)^{3} + b (x + 1)^{2} + c (x + 1) + 1$

$P (x + 1) - P (x) = a [(x + 1)^{3} - x^{3}] + b [(x + 1)^{2} - x^{2}] + c [x + 1 - x]$

$= a [x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 - x^{3}] + b (x^{2} + 2 x + 1 - x^{2}) + c$

$= a (3 x^{2} + 3 x + 1) + b (2 x + 1) + c$

$= 3 a x^{2} + 3 a x + a + 2 b x + b + c$

$= 3 a x^{2} + (3 a + 2 b) x + a + b + c$

Đồng nhất hệ số: $3 a x^{2} + (3 a + 2 b) x + a + b + c = x^{2}$ ta có:

$⎩ ⎨ ⎧ 3 a = 1 3 a + 2 b = 0 a + b + c = 0,$ suy ra $⎩ ⎨ ⎧ a = \frac{1}{3} b = \frac{- 1}{2} c = \frac{1}{6} .$

Vậy $P (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{6} x + 1.$

2) Ta có:

$A = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2}$ $= P (2) - P (1) + P (3) - P (2) + ..... + P (n + 1) - P (n)$

$= P (n + 1) - P (1) = \frac{1}{3} n^{3} + \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{6} n$

$= \frac{2 n ^{3} + 3 n ^{2} + n}{6}$ $= \frac{n ( 2 n + 1 ) ( n + 1 )}{6} .$