Đề thi cuối kì 1 Toán 8 THCS Tam Hiệp (Hà Nội) năm 2023-2024 (có đáp án)

a) $3x^{2}y\left(2x^2-y\right)-4x^2\left(x^{2}y-y^2\right)$ $=6x^{4}y-3x^2{y}^2-4x^{4}y+4x^2{y}^2$ $=2x^{4}y+x^2{y}^2.$

b) $3x\left(x-2\right)-5x\left(1-x\right)-8\left(x^2-3\right)$ $=3x^2-6x-5x+5x^2-8x^2+24$ $=-11x+24.$

a) ${\left(5x-1\right)}^2-\left(5x-4\right)\left(5x+4\right)=7$

     $25x^2-10x+1-\left(25x^2-16\right)=7$

     $25x^2-10x+1-25x^2+16=7$

     $-10x=-10$

           $x=1$

Vậy $x=1$.

b) $C={\left(x+y-7\right)}^2-2\left(x+y-7\right)\left(y-6\right)+{\left(y-6\right)}^2$

$={\left[\left(x+y-7\right)-\left(y-6\right)\right]}^2$

$={\left(x-1\right)}^2.$

Thay $x=101$ vào biểu thức $C$ đã thu gọn, ta có: $C={\left(101-1\right)}^2=100^2=10000.$

Vậy với $x=101$ thì $C=10000.$

a) $3x^3-6x$ $=3x\left(x^2-2\right).$ c) $5x^2-10xy+5y^2-20z^2$ $=5\left(x^2-2xy+y^2-4z^2\right)$ $=5\left[{\left(x-y\right)}^2-{\left(2z\right)}^2\right]$ $=5\left(x-y-2z\right)\left(x-y+2z\right).$

b) $x^2\left(x-1\right)+25\left(1-x\right)$ $=x^2\left(x-1\right)-25\left(x-1\right)$ $=\left(x-1\right)\left(x^2-25\right)$ $=\left(x-1\right)\left(x-5\right)\left(x+5\right).$ d) $x^3-3x^2+3x-1$ $={\left(x-1\right)}^3.$

Ta có: $E$ là trung điểm của $$AB;$$ $$F$$là trung điểm của $$AC.$$

Suy ra $$EF$$ là đường trung bình của tam giác $$ABC$$

Nên $$EF=\frac{1}{2}BC,$$ do đó $$BC=2EF=2\cdot 4,5=9\left(\mathrm{m}\right).$$

Vậy độ rộng của hồ bơi là 9 m.

Xét $\Delta KBC$ có $KM$ vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyên nên $\Delta KBC$ cân tại $K.$ Suy ra $\widehat{KBC}=\widehat{KCB},$ hay $$\widehat{IBH}=\widehat{ACB}.$$

Xét $\Delta ABC$ có $MN//AC$ (cùng vuông góc với $AB)$ và $M$ là trung điểm của $BC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác.

Do đó $N$ là trung điểm của $AB,$ nên $NA=NB=\frac{1}{2}AB.$

Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$ có đường trung tuyến $HN$ nên $NH=\frac{1}{2}AB.$

Suy ra $NA=NB=NH=\frac{1}{2}AB.$ Do đó $\Delta NBH$ cân tại $N,$ nên $$\widehat{NHB}=\widehat{NBH},$$ hay $$\widehat{IHB}=\widehat{ABC}.$$

Xét $\Delta IBH$ có $\widehat{BIH}+\widehat{IBH}+\widehat{IHB}=180^{\circ }$ (tổng ba góc của tam giác)

Suy ra $\widehat{BIH}=180^{\circ }-\left(\widehat{IBH}+\widehat{IHB}\right)=180^{\circ }-\left(\widehat{ACB}+\widehat{ABC}\right)$

Mặt khác, $\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat{ACB}+\widehat{ABC}=90^{\circ }$ (hai góc nhọn của tam giác vuông bằng $90^{\circ }).$

Do đó $\widehat{BIH}=180^{\circ }-\left(\widehat{ACB}+\widehat{ABC}\right)=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }.$

Vậy $BK\perp HN.$

Ta có: $x^2+55=4y^2$

$4y^2-x^2=55$
$\left(2y-x\right)\left(2y+x\right)=55$

Nhận xét: $x+2y\ge 2y-x>0$ nên ta có:

Trường hợp 1: $\{\begin{array}{l}2y+x=55\\ 2y-x=1\end{array}$ suy ra $\{\begin{array}{l}x=27\\ y=14\end{array}$

Trường hợp 2: $\{\begin{array}{l}2y+x=11\\ 2y-x=5\end{array}$ suy ra $\{\begin{array}{l}y=4\\ x=3\end{array}$

Vậy $\left(x;y\right)$ có thể là $\left(27;14\right)$ và $\left(3;4\right).$