Đề thi Cuối kì 1 Toán 8 trường THCS Thanh Quan (Hà Nội) năm 2023-2024 có đáp án - Đề số 2

Hướng dẫn giải

a) $6x^2-10x=0$ $2x\left(3x-5\right)=0$ $2x=0$ hoặc $3x-5=0$ $x=0$ hoặc $x=\frac{5}{3}.$  Vậy $x\in \left\{0;\frac{5}{3}\right\}.$

b) ${\left(x+3\right)}^2-x\left(x+3\right)=8$ $x^2+6x+9-x^2-3x-8=0$ $3x=-1$   $x=-\frac{1}{3}$ Vậy $x=-\frac{1}{3}.$

c) $x^2-5x-14=0$ $x^2-7x+2x-14=0$ $x\left(x-7\right)+2\left(x-7\right)=0$ $\left(x-7\right)\left(x+2\right)=0$ $x-7=0$ hoặc $x+2=0$ $x=7$ hoặc $x=-2.$ Vậy $x\in \left\{7;-2\right\}.$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{3x^2{y}^3+2}{3x{y}^4}-\frac{2}{3x{y}^4}$ $=\frac{3x^2{y}^3+2-2}{3x{y}^4}$ $=\frac{3x^2{y}^3}{3x{y}^4}=\frac{x}{y}.$

b) $\frac{x^2-9}{x+2}:\frac{x^2+6x+9}{3x+6}$ $=\frac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{x+2}:\frac{{\left(x+3\right)}^2}{3\left(x+2\right)}$ $=\frac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{x+2}\cdot \frac{3\left(x+2\right)}{{\left(x+3\right)}^2}$ $=\frac{3\left(x-3\right)}{x+3}.$

a) Thay $$x=1$$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $N$ ta được: $N=\frac{1+1}{1-3}=-1.$

Vậy $$N=-1$$ khi $$x=1.$$

b) Với $x\ne -2;x\ne \pm 3,$ ta có:

$$M=\frac{x-3}{x+3}+\frac{9x-9}{x^2-9}$$$$=\frac{x-3}{x+3}+\frac{9x-9}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}$$

$$=\frac{\left(x-3\right)\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}+\frac{9x-9}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}$$$$=\frac{x^2-6x+9+9x-9}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$$

$$=\frac{x^2+3x}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\frac{x\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}$$$$=\frac{x}{x-3}.$$

Vậy với $x\ne -2;x\ne \pm 3$ thì $M=\frac{x}{x-3}.$

c) Với $x\ne -2;x\ne \pm 3,$ ta có:

$$P=M+N=\frac{x}{x-3}+\frac{x+1}{x-3}=\frac{2x+1}{x-3}=2+\frac{7}{x-3}.$$

Với $x$ nguyên, để $P$ nguyên thì $$7⋮x-3$$ hay $x-3\in$Ư$\left(7\right)=\left\{\pm 1;\pm 7\right\}.$

Ta có bảng sau:

Các giá trị $x$ thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy $x\in \left\{-4;2;4;10\right\}.$

a) Công thức biểu diễn y theo x: $$y=400000+10000x.$$

b) Để An mua được chiếc xe đạp đó thì cần số ngày là:

$$\left(1850000-400000\right):10000=145$$ (ngày).

a) Ta có: $$DE\perp BC$$ (giả thiết) nên $\widehat{EDC}=\widehat{EDB}=90^{\circ }.$ $$EH\perp AC$$ (giả thiết) nên $\widehat{EHA}=\widehat{EHC}=90^{\circ }.$ $$\Delta ABC$$ vuông tại $C$ (giả thiết) nên $\widehat{ACB}=90^{\circ }.$ Xét tứ giác $$CHED$$ có: $\widehat{EHC}=\widehat{EDC}=\widehat{AB}B=90^{\circ }$ nên $$CHED$$ là hình chữ nhật.
b) Xét $$\Delta ABC$$ vuông tại $$C$$ có $$CE$$ là đường trung tuyến $$(E$$ là trung điểm $$AB)$$ nên $$AE=BE=CE=\frac{BA}{2}$$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).
Cách 1. Xét $$\Delta BEC$$ có: $$BE=EC$$ (chứng minh trên) nên $$\Delta BEC$$ cân (dấu hiệu nhận biết) có đường cao $$ED$$ đồng thời là đường trung tuyến.	Cách 2. Xét $$\Delta EDC$$ và $$\Delta EDB$$ có: $$ED$$ chung; $$BE=EC$$ (chứng minh trên); $\widehat{EDC}=\widehat{EDB}=90^{\circ }.$ Do đó $$\Delta EDC=\Delta EDB$$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Do đó $$CD=BD.$$

Xét tứ giác $$AMBD$$ có: $E$ là trung điểm $$MD$$ (do $$ME=ED)$$ và $$E$$ là trung điểm của $$AB$$ nên $$AMBD$$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

c) Do $$AMBD$$ là hình bình hành (câu b) nên $$AM//BD,$$ $$AM=BD,AD=MB.$$ Mà $$CD=BD$$ nên $$MA=BD=CD.$$ Xét tứ giác $$AMDC$$ có: $$AM//CD$$ (do $$AM//BD)$$ và $$AM=CD$$ nên $$AMDC$$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Hình bình hành $$AMDC$$ có $\widehat{ACB}=90^{\circ }$ nên là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

Suy ra $$AD=MC,IA=ID,IC=IM.$$

Do đó $$IM=IA=IC=ID=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}MB.$$

Xét $$\Delta MDC$$ có hai đường trung tuyến $$DI$$ và $$CE$$ cắt nhau tại $I$ nên $I$ là trọng tâm $$\Delta MDC,$$ do đó $$IN=\frac{1}{3}ID=\frac{1}{6}MB.$$

$3\left(m^2+n^2\right)=10mn$

$3m^2+3n^2-10mn=0$

$3m^2-9mn-mn+3n^2=0$

$\left(m-3n\right)\left(3m-n\right)=0$

Trường hợp 1: $$m-3n=0$$ hay $$m=3n.$$ Loại vì $$m<n.$$

Trường hợp 2: $$3m-n=0$$ hay $$n=3m.$$ Khi đó $$A=\frac{m+3m}{m-3m}=\frac{4m}{-2m}=-2.$$

Vậy $A=-2.$