Đề thi cuối kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 3

Hướng dẫn giải

1. a) Để thu gọn bảng dữ liệu trên thì nên chọn bảng tần số ghép nhóm để biểu thị dữ liệu. Vì vì số liệu đang ở dạng ở số thực và có phân bố không đều nhau.

b) Hãy chia số liệu làm 4 nhóm trong đó nhóm đầu tiên là $$4:00$$ đến dưới $$4:30$$; lập bảng tần số và tần số tương đối ghép nhóm (làm tròn đến hàng đơn vị).

Ta có bảng tần số ghép nhóm như sau:

Nhóm	$$[4:00;4:30)$$	$$\left[4:30;5:00\right)$$	$$\left[5:00;5:30\right)$$	$$\left[5:30;6:00\right)$$
Số học sinh	$$13$$	$$8$$	$$12$$	$$3$$

Tổng số học sinh trong lớp là $n=13+8+12+3=36$.

Tỉ lệ thời gian học sinh chạy $$1000\mathrm{m}$$ từ $$4:00$$ đến dưới $$4:30$$ là $\frac{13}{36}\approx 36,1\%$;

từ $$4:30$$ đến dưới $$5:00$$ là $\frac{8}{36}\approx 22,2\%$;

từ $$5:00$$ đến dưới $$5:30$$ là $\frac{12}{36}\approx 33,3\%$;

từ $$5:30$$ đến dưới $$6:00$$ là:

$100\%-36,1\%-22,2\%-33,3\%\approx 8,4\%$.

Ta có bảng tần số tương đối ghép nhóm như sau:

2. Tập hợp $\Omega =\left\{10;11;12;13;14;15;16;\dots ;95;96;97;98;99\right\}.$

Số phần tử của tập hợp $\Omega$là $n\left(\Omega \right)=90$.

Xét biến cố $$A:$$ “Số tự nhiên được viết ra là số tròn chục”.

$A=\left\{10;20;30;40;50;60;70;80;90\right\}$.
Khi đó, số phần tử của tập hợp $A$ là $n\left(A\right)=9$.

Xác suất của biến cố $A$là $p(A)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{9}{90}=0,1$.

Hướng dẫn giải

Vậy bốn điểm $A,H,C,K$ cùng nằm trên cùng một đường tròn tâm $I$ hay tứ giác $$AHCK$$ nội tiếp.

b) Vì $$AHCK$$ là tứ giác nội tiếp nên  $\widehat{CHK}=\widehat{CAK}=\widehat{CAE}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $$KC).$$

Lại có $$ADCE$$nội tiếp nên $\widehat{CAE}=\widehat{CDE}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $$EC).$$

Từ đó suy ra $\widehat{CHK}=\widehat{CDE}$ nên $HK//DE$ (đpcm).

Do $HK//DE$, mà $$H$$ là trung điểm $$CD$$ (quan hệ vuông góc của đường kính $$AB$$ với dây $$CD$$ tại $$H).$$

Suy ra $$HK$$ là đường trung bình của tam giác $$CDF$$ nên $$K$$ là trung điểm $$FC$$.

Tam giác $$AFC$$ có $$AK$$ là đường cao đồng thời cũng là trung tuyến.

Do đó tam giác $$CAF$$là tam giác cân tại $$K$$ (đpcm).

c) Tam giác $$FAC$$ cân tại $$A$$ nên $$AF=AC.$$

Dễ thấy tam giác $$ACD$$ cân tại $$A$$ nên $$AC=AD$$.

Từ đó suy ra $$AF=AD$$ hay tam giác $$AFD$$ cân tại $$A$$, hạ $$DI\perp AF$$ .

Ta có $S_{AFD}=\frac{1}{2}DI\cdot AF=\frac{1}{2}DI\cdot AC$.

Do $$AC$$ không đổi nên $S_{AFD}$ lớn nhất khi và chỉ khi $$DI$$ lớn nhất.

Trong tam giác vuông $$AID$$ ta có:

$ID\le AD=AC$ hay $S_{AFD}=\frac{1}{2}DI\cdot AF=\frac{1}{2}DI\cdot AC\le \frac{A{C}^2}{2}$.

Dấu xảy ra khi và chỉ khi $I\equiv A$, khi đó $$\widehat{DAF}=90^{\circ }$$ nên tam giác $$ADF$$ vuông cân tại $$A$$, suy ra $\widehat{EBA}=\widehat{EDA}=45^{\circ }$ hay $$E$$ là điểm chính giữa cung $$AB.$$

Vậy để diện tích tam giác $$ADF$$ lớn nhất thì $$E$$ là điểm chính giữa cung $$AB.$$