Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2023-2024 THPT Nguyễn Hữu Cảnh (TP.HCM) có đáp án

a) Ta có: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1\iff \cos x=\pm \sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\pm \frac{4}{5}$.

Vì $\frac{\pi }{2}<x<\pi \Rightarrow \cos x=-\frac{4}{5}$.

Ta có: $\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\cos x\cos \frac{\pi }{3}+\sin x\sin \frac{\pi }{3}=\frac{-4+3\sqrt{3}}{10}$.

b) $VT=\frac{\sin x}{1+\cos x}+\frac{1+\cos x}{\sin x}=\frac{{\sin }^{2}x+{\left(1+\cos x\right)}^2}{\left(1+\cos x\right)\sin x}=\frac{2+2\cos x}{\left(1+\cos x\right)\sin x}=\frac{2}{\sin x}=VP$

a) Ta có:

                     $\begin{array}{l}-1\le \cos 2x\le 1\\ \iff -3\le 3\cos 2x\le 3\\ \iff 2\le 3\cos 2x+5\le 8\\ \iff 2\le y\le 8\end{array}$

Vậy tập giá trị của hàm số: $T=\left[2;8\right]$.

b) Hàm số xác định khi $\{\begin{array}{l}\cos 2x\ne 0\\ \sin x-1\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\\ x\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array};k\in \mathbb{Z}$

Vậy tập xác định của hàm số: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2};\frac{\pi }{2}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$

a)

 $$\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff \cos x=\cos \frac{\pi }{6}\iff x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \vee x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$$

b) $$\sin (\frac{\pi }{3}+3x)=\frac{1}{2}$$

$$\iff [\begin{array}{l}\frac{\pi }{3}+3x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ \frac{\pi }{3}+3x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{6}+\frac{k2\pi }{3}\end{array},k\in \mathbb{Z}$$

Lúc $12$ giờ, hai kim đồng hồ cùng chỉ vào số $12$. Vì kim phút đi nhanh hơn kim giờ nên kim phút đi hết một vòng mà hai kim vẫn chưa gặp nhau.

Hiệu vận tốc của hai kim là: $1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}$(vòng đồng hồ/giờ).

Kể từ lúc $1$ giờ, thời gian để kim phút đuổi kịp kim giờ là: $\frac{1}{12}÷\frac{11}{12}=\frac{1}{11}$(giờ).

Kể từ lúc $12$ giờ, thời gian để hai kim chập nhau lần đầu tiên là: $1+\frac{1}{11}=\frac{12}{11}$(giờ).

Trong $1$ giờ kim phút quay được một vòng$\Rightarrow$ Kim phút quay được $2\pi \left(radian\right)$.

Trong $\frac{12}{11}$ giờ kim phút quay được là: $\frac{12}{11}\times 2\pi =\frac{24\pi }{11}\left(radian\right)$.

Do cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm$\Rightarrow$ Kim phút quay được là: $-\frac{24\pi }{11}\left(radian\right)$.

Ta có : $$u_{n+1}=\frac{2\left(n+1\right)+1}{n+1+3}=\frac{2n+3}{n+4}$$

$$u_{n+1}-u_n=\frac{2n+3}{n+4}-\frac{2n+1}{n+3}=\frac{\left(2n+3\right)\left(n+3\right)-\left(n+4\right)\left(2n+1\right)}{\left(n+4\right)\left(n+3\right)}=\frac{5}{\left(n+4\right)\left(n+3\right)}>0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

Vậy $(u_n)$là dãy số tăng.

Ta có:

$$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{u}_1+u_6=18\\ u_2+u_7=22\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}{u}_1+u_1+5d=18\\ u_1+d+u_1+6d=22\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}2u_1+5d=18\\ 2u_1+7d=22\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}{u}_1=4\\ d=2\end{array}\end{array}$$

+ Phương án 1: $u_1=360;d=30$

Tổng lương trong 10 năm: $S_{10}=10.360+45.30=4950$ (triệu đồng)

+ Phương án 2:   $u_1=70;d=5$; 10 năm có 40 quý.

Tổng lương trong 10 năm: $S_{10}=40.70+\mathrm{20.39.5}=6700$ triệu đồng

Vậy nên chọn phương án 2

a) Ta có \[S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right)\] $$\left(1\right)$$

Trong $$\left(ABCD\right)$$, gọi $F=AB\cap CD$

$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}F\in AB,AB\subset \left(SAB\right)\\ F\in CD,CD\subset \left(SCD\right)\end{array}\Rightarrow F\in \left(SAB\right)\cap \left(SCD\right)$$ $$\left(2\right)$$

Từ $$\left(1\right),\left(2\right)$$ suy ra $$\left(SAB\right)\cap \left(SCD\right)=SF$$.

b) Tìm giao điểm $$I$$của $$BG$$với $$\left(SAC\right)$$.

Gọi $$J$$là trung điểm$$AD$$. Chọn mp$\left(SBJ\right)$ chứa $BG$.

Ta có:$S\in \left(SAC\right)\cap \left(SBJ\right)$

Trong $\left(ABCD\right)$, gọi $H=AC\cap BJ$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}H\in AC,AC\subset \left(SAC\right)\\ H\in BJ,BJ\subset \left(SBJ\right)\end{array}\Rightarrow H\in \left(SAC\right)\cap \left(SBJ\right)$

Vậy $\left(SAC\right)\cap \left(SBJ\right)=SH$

Trong $\left(SBJ\right)$, gọi $I=BG\cap SH$

$$\{\begin{array}{l}I\in BG\\ I\in SH,SH\subset \left(SAC\right)\end{array}\Rightarrow I=BG\cap \left(SAC\right).$$

c) Tìm giao tuyến của $$\left(MNG\right)$$ với$$\left(SBD\right)$$

Trong mp$$(ABCD):K=BD\cap CJ;(SJC):L=SK\cap GN$$và$$BD$$

Ta có $$\{\begin{array}{l}L\in SK,SK\subset \left(SBD\right)\\ L\in NG,NG\subset \left(MNG\right)\end{array}\Rightarrow L\in \left(SBD\right)\cap \left(MNG\right)$$ (3)

Trong mp$$(SJC):NG\cap CJ=P$$.

Trong mp$$(ABCD):MP\cap BD=R$$

Ta có $$\{\begin{array}{l}R\in BD,BD\subset \left(SBD\right)\\ R\in MP,MP\subset \left(MNG\right)\end{array}\Rightarrow R\in \left(SBD\right)\cap \left(MNG\right)$$ (4)

Từ (3), (4) suy ra $$\left(MNG\right)\cap \left(SBD\right)=LR$$