Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2023-2024 THPT Phúc Lợi (Hà Nội) có đáp án

Ta có: $${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\Rightarrow \cos \alpha =\pm \frac{3}{5}$$. Vì $$-\frac{\pi }{2}\le \alpha \le 0\Rightarrow \cos \alpha >0$$.Suy ra $$\cos \alpha =\frac{3}{5}$$

$$\cos 2\alpha =-\frac{7}{25}$$; $$\sin 2\alpha =-\frac{24}{25}$$

$$T=-\frac{7}{6}$$.

a) $$2\sin 2x+1=0\iff \sin 2x=-\frac{1}{2}\iff \{\begin{array}{l}2x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 2x=\pi +\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}$$

Giải được $$x=-\frac{\pi }{12}+k\pi ;x=\frac{7\pi }{12}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$$. Kết luận.

b) $$\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\iff \{\begin{array}{l}2x-\frac{\pi }{6}=x+\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ 2x-\frac{\pi }{6}=-x-\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}$$

$$\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{5\pi }{12}+k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{36}+\frac{k2\pi }{3}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$$ . Kết luận.

c) $$\cos x-\sqrt{3}\sin x=-\sqrt{2}\iff \frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\iff \sin \left(\frac{\pi }{6}-x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)$$

$$\iff \{\begin{array}{l}\frac{\pi }{6}-x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ \frac{\pi }{6}-x=\pi +\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{5\pi }{12}-k2\pi \\ x=-\frac{13\pi }{12}-k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$$. Kết luận.

a) Vẽ hình đúng

Trong \[\left( {ABCD} \right)\] có $$DN\cap AC=O\Rightarrow \{\begin{array}{l}O\in DN\subset \left(SDN\right)\\ O\in AC\subset \left(SAC\right)\end{array}$$

Suy ra $$O$$ là điểm chung của $$\left(SDN\right)$$ và $$\left(SAC\right)$$

            $$S$$ là điểm chung của $$\left(SDN\right)$$ và $$\left(SAC\right)$$ $$\Rightarrow \left(SDN\right)\cap \left(SAC\right)=SO$$.

b) Có $$\frac{CN}{CB}=\frac{3}{4};\frac{CH}{CA}=\frac{3}{4}\Rightarrow \frac{CN}{CB}=\frac{CH}{CA}$$

$$\Rightarrow HN//AB$$mà $$AB//\mathrm{DC}\Rightarrow HN//\mathrm{DC}$$.

Có $$HN//\mathrm{DC},\mathrm{DC}\subset \left(SC\mathrm{D}\right),HN\notin \left(SC\mathrm{D}\right)\Rightarrow HN//\left(SC\mathrm{D}\right)$$.

c) Trong (ABCD) có$$DN\cap AB=M\Rightarrow \{\begin{array}{l}M\in DN\subset \left(IND\right)\\ M\in AB\subset \left(SAB\right)\end{array}$$. Suy ra M và I là điểm chung của (IND) và (SAB) $$\Rightarrow \left(IND\right)\cap \left(SAB\right)=MI$$.

Trong (SAB) có $$MI\cap SB=K\Rightarrow \{\begin{array}{l}K\in SB\\ K\in MI\subset \left(IND\right)\end{array}\Rightarrow K=SB\cap \left(IND\right)$$.

Ta có ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cos 4x$

Phương trình trở thành $8{\cos }^{2}4x+3\cos 4x=8m+3$

Đặt $t=\cos 4x,$ với $x\in \left[-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]$ nên $t\in \left[-1;1\right]$

Khi đó phương trình trở thành $8t^2+3t=8m+3(\ast )$

Ứng với mỗi $t\in [-1;1)$ thì phương trình $\cos 4x=t$ sẽ có ta hai giá trị của $x\in \left[-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]$

Với $t=1$ thì phương trình $\cos 4x=t$ cho ta đúng một giá trị của $x\in \left[-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]$

Do đó yêu cầu bài toán tương đương với (*) có hai nghiệm $t$ phân biệt thuộc $[-1;1)$.

Xét hàm $f(t)=8t^2+3t$ trên $[-1;1)$.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu của bài toán

$\iff -\frac{9}{32}<8m+3\le 5\iff -\frac{105}{256}<m\le \frac{1}{4}$. Kết luận.