Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2024-2025 THPT Trần Hưng Đạo (TP.HCM) có đáp án

Giải phương trình lượng giác: $\sin \left(3x-\frac{5\pi }{4}\right)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$

$$\sin \left(3x-\frac{5\pi }{4}\right)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)\iff [\begin{array}{l}3x-\frac{5\pi }{4}=2x+\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ 3x-\frac{5\pi }{4}=\pi -\left(2x+\frac{\pi }{3}\right)+k2\pi \end{array}(0.5)$$$\iff [\begin{array}{l}x=\frac{19\pi }{12}+k2\pi \\ x=\frac{23\pi }{60}+\frac{k2\pi }{5}\end{array}(0.5)$

Chiều cao của mực nước $h$(m) tại một cảng biển theo thời gian $t$(giờ) $\left(0\le t\le 24\right)$ được cho bởi công thức $h\left(t\right)=13+3\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)$.

a) Chiều cao của mực nước vào thời điểm $t=4$ là bao nhiêu mét?

$h(4)=13+3\cos \left(\frac{\pi }{12}.4\right)=14,5$(mét) (0.25)

b) Dựa vào đồ thị của hàm số côsin (xem hình bên dưới), hãy cho biết vào những thời điểm nào trong ngày thì chiều cao của mực nước trên $11,5\mathrm{m}$.

Do chiều cao của mực nước trên 11,5 m nên $13+3\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)>11,5\iff \cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)>-\frac{1}{2}\left(1\right)$ (0.25)

Do $0\le t\le 24\iff 0\le \frac{\pi }{12}t\le 2\pi \left(2\right)$

Đặt $x=\frac{\pi }{12}t$, từ $\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow \{\begin{array}{l}\cos x>-\frac{1}{2}\\ 0\le x\le 2\pi \end{array}$

Dựa vào đồ thị hàm số $y=\cos x$ trên $\left[0;2\pi \right]$, ta có

u20​=37. c) 53 là một số hạng của cấp số cộng đã cho. d) Tổng 50 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là $S_{50}=2300.$ (ảnh 2)">

$[\begin{array}{l}0\le x<\frac{2\pi }{3}\\ \frac{4\pi }{3}<x\le 2\pi \end{array}(0.25)\iff [\begin{array}{l}0\le \frac{\pi }{12}t<\frac{2\pi }{3}\\ \frac{4\pi }{3}<\frac{\pi }{12}t\le 2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{l}0\le t<8\\ 16<t\le 24\end{array}$

Ứng với các thời điểm $t\in \left[0;8\right)\cup \left(16;24\right]$ (h), thì chiều cao của mực nước tại cảng biển trên 11,5 m. (0.25)

a) Tìm giao điểm P của SB với (CDM).

Chọn $\left(SAB\right)$$\supset SB$.

$M\in \left(SAB\right)\cap \left(MCD\right)$

$\{\begin{array}{l}N\in AB\subset \left(SAB\right)\\ N\in CD\subset \left(MCD\right)\end{array}\Rightarrow N\in \left(SAB\right)\cap \left(MCD\right)$

$\Rightarrow$$\left(SAB\right)\cap \left(MDC\right)=MN$

Trong $\left(SAB\right)$, gọi $P=MN\cap SB$

 Vậy $P=SB\cap \left(MCD\right).$

b) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Chứng minh rằng các đường thẳng SO, DP và CM đồng quy.

Trong $\left(SAC\right)$, gọi $I=SO\cap CM\Rightarrow \{\begin{array}{l}I\in SO\subset \left(SBD\right)\\ I\in CM\subset \left(DMN\right)\end{array}\Rightarrow I\in \left(SBD\right)\cap \left(DMN\right)\left(1\right)$

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}P\in SB\subset \left(SBD\right)\\ P\in MN\subset \left(DMN\right)\end{array}\Rightarrow P\in \left(SBD\right)\cap \left(DMN\right)\left(2\right)\\ D\in \left(SBD\right)\cap \left(DMN\right)\left(3\right)\end{array}$

Từ (1), (2), (3) suy ra I, P, D thẳng hàng hay SO, CM, PD đồng quy tại I.