Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2024-2025 THPT Trần Văn Giàu (TP.HCM) có đáp án

a) Tìm giao tuyến của $\left(SAC\right)$ và $\left(SBD\right)$:

Xét hai mặt phẳng $\left(SAC\right)$ và $\left(SBD\right)$, ta có:

$S$ là điểm chung thứ nhất: $S\in \left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)$.

Trong mặt đáy $\left(ABCD\right)$, ta có $O=AC\cap BD$.

Vì $O\in AC\subset \left(SAC\right)\Rightarrow O\in \left(SAC\right)$.

Vì $O\in BD\subset \left(SBD\right)\Rightarrow O\in \left(SBD\right)$.

Suy ra $O$ là điểm chung thứ hai: $O\in \left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)$.

Vậy giao tuyến cần tìm là đường thẳng $SO$, ta có $\left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)=SO$.

b) Tìm giao điểm của $SD$ và $\left(AMB\right)$:

Chọn mặt phẳng phụ chứa $SD$ là $\left(SBD\right)$. Ta đã biết $\left(SBD\right)\cap \left(SAC\right)=SO$.

Trong mặt phẳng $\left(SAC\right)$, gọi $K$ là giao điểm của $AM$ và $SO$.

Xét giao tuyến của mặt phẳng phụ $\left(SBD\right)$ với mặt phẳng $\left(AMB\right)$:

$B$ là điểm chung thứ nhất.

Vì $K\in AM\subset \left(AMB\right)$ và $K\in SO\subset \left(SBD\right)$ nên $K$ là điểm chung thứ hai.

Do đó, giao tuyến của $\left(SBD\right)$ và $\left(AMB\right)$ là đường thẳng $BK$.

Trong mặt phẳng $\left(SBD\right)$, gọi $I$ là giao điểm của $BK$ và $SD$.

Vì $\{\begin{array}{l}I\in SD\\ I\in BK\subset \left(AMB\right)\end{array}\Rightarrow I=SD\cap \left(AMB\right)$.

c) Chứng minh $AM,BI,SO$ đồng quy:

Theo kết quả dựng hình ở câu b:

Trong mặt phẳng $\left(SAC\right)$, ta có $K=AM\cap SO$.

Trong mặt phẳng $\left(SBD\right)$, ta có $I=BK\cap SD$, điều này có nghĩa là ba điểm $B,K,I$ thẳng hàng, hay đường thẳng $BI$ đi qua điểm $K$.

Như vậy, cả ba đường thẳng $AM$, $SO$, và $BI$ đều cắt nhau tại cùng một điểm $K$.

Vậy ba đường thẳng $AM,BI,SO$ đồng quy tại điểm $K$.

Mực nước $h$ đạt giá trị cao nhất (lớn nhất) khi và chỉ khi giá trị của hàm số sin đạt lớn nhất, tức là:

                 $\sin \left(\frac{\pi t}{4}+\frac{\pi }{3}\right)=1$.

Giải phương trình lượng giác trên, ta được:

$$\frac{\pi t}{4}+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k2\pi$$$\iff \frac{\pi t}{4}=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}+k2\pi$$\iff \frac{\pi t}{4}=\frac{\pi }{6}+k2\pi$$\iff t=4\cdot \left(\frac{1}{6}+2k\right)=\frac{2}{3}+8k\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Vì thời gian $t\ge 0$, để tìm thời gian ngắn nhất (nhỏ nhất và dương), ta chọn $k=0$ nên $t=\frac{2}{3}$ (giờ).

Theo đề bài, thời gian ngắn nhất có dạng tối giản $t=\frac{a}{b}\Rightarrow a=2,b=3$.

Tính giá trị của biểu thức tích $a\cdot b$, ta có: $a\cdot b=2\cdot 3=6$.