Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT An Lạc (TP.HCM) có đáp án

Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $\sin \alpha <0$.

Ta có ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\Rightarrow \sin \alpha =-\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\frac{-\sqrt{21}}{5}$.

0,25

$sin2\alpha =2\sin a\cos a=-\frac{4\sqrt{21}}{25}$

0,25

VT = $$\sin x.{\cos }^{3}x-\cos x.{\sin }^{3}x$$ = sinx. cos x (cos²x – sin²x) = $$\frac{1}{2}\sin 2x.\cos 2x$$

0,25

$$=\frac{1}{4}\sin 4x=VP$$         

0,25

$2sin2x+1=0$$\iff sin2x=-\frac{1}{2}$$\iff sin2x=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)$

$\iff [\begin{array}{l}2x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 2x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$$\iff [\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{12}+k\pi \\ x=\frac{7\pi }{12}+k\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$

0,25+0,25

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{-\frac{\pi }{12}+k\pi ,\frac{7\pi }{12}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

$\iff 3x-10^{\circ }=60^{\circ }+k180^{\circ }(k\in \mathbb{Z})$

0,25

$\begin{array}{l}\iff 3x=70^{\circ }+k180^{\circ }(k\in \mathbb{Z})\\ \iff x=\frac{1}{3}70^{\circ }+k60^{\circ }(k\in \mathbb{Z}).\end{array}$

0,25

$\{\begin{array}{l}{u}_2+u_5-u_3=10\\ u_4+u_6=26\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1+d+u_1+4d-\left(u_1+2d\right)=5\\ u_1+3d+u_1+5d=26\end{array}$

0,25

$\iff \{\begin{array}{l}{u}_1+3d=10\\ 2u_1+8d=26\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ d=3\end{array}$

0,25

Số cây trên mỗi hàng lập thành một cấp số cộng $\left(u_n\right)$ với số hạng đầu $u_1=2$ và công sai $d=3$.

Tổng số cây trồng được là:

$\begin{array}{l}{S}_n=610\\ \iff \frac{n\left[2.2+(n-1)3\right]}{2}=610\\ \iff 3n^2+n-1220=0\end{array}$

0,25

$\iff [\begin{array}{l}n=20(\mathrm{nhan})\\ n=-\frac{61}{3}(\mathrm{loai})\end{array}.$

Vậy số hàng cây trong khu vườn là 20 hàng.

0,25

Xét hai mặt phẳng $\left(SAC\right)$ và $\left(SBD\right)$, ta có:

Điểm $S$ là điểm chung thứ nhất: $S\in \left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)$.

Trong mặt phẳng đáy $\left(ABCD\right)$, $O=AC\cap BD$.

$\Rightarrow O$ là điểm chung thứ hai: $O\in \left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)$.

Kết luận: Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng $SO$: $\left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)=SO$

0,5

Chọn mặt phẳng phụ chứa $AM$ là mặt phẳng $\left(SAC\right)$.

Tìm giao tuyến của mặt phẳng phụ $\left(SAC\right)$ và mặt phẳng cần tìm $\left(SBD\right)$, theo chứng minh trên ta có: $\left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)=SO$.

Trong mặt phẳng $\left(SAC\right)$, gọi $E=AM\cap SO$.

Vì $E\in SO$ mà $SO\subset \left(SBD\right)\Rightarrow E\in \left(SBD\right)$.

Kết luận: Giao điểm của $AM$ và $\left(SBD\right)$ chính là điểm $E$.

0,5

Trong mặt phẳng đáy $\left(ABCD\right)$, vì $ABCD$ là hình bình hành nên hai đường thẳng $AD$ và $BC$ song song với nhau.

Xét hai mặt phẳng $\left(MAD\right)$ và $\left(SBC\right)$:

Có điểm $M$ chung.

Có hai đường thẳng $AD\subset \left(MAD\right)$ và $BC\subset \left(SBC\right)$ song song với nhau.

Theo định lý về giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song, giao tuyến của $\left(MAD\right)$ và $\left(SBC\right)$ là đường thẳng $Mx$ đi qua $M$ và song song với cả $AD$ và $BC$.

Trong mặt phẳng $\left(SBC\right)$, đường thẳng $Mx$ (qua $M$ song song với $BC$) sẽ cắt cạnh $SB$ tại điểm $P$.

Vì $M$ là trung điểm của $SC$ nên $P$ sẽ là trung điểm của $SB$ (theo định lý đường trung bình trong $\Delta SBC$).

Do $P\in Mx\subset \left(MAD\right)\Rightarrow P\in \left(MAD\right)$.

Kết luận: Giao điểm của $SB$ và mặt phẳng $\left(MAD\right)$ là trung điểm $P$ của $SB$.

0,5

Để chứng minh ba điểm $N,E,I$ thẳng hàng, ta cần chứng minh chúng cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt. Ở đây, hai mặt phẳng đó là $\left(SBD\right)$ và $\left(AMK\right)$.

Ta lần lượt xét vị trí của các điểm:

1. Xét điểm $E$:

Theo câu a, $E=AM\cap SO$.

Vì $E\in SO\subset \left(SBD\right)\Rightarrow E\in \left(SBD\right)$.

Vì $E\in AM\subset \left(AMK\right)\Rightarrow E\in \left(AMK\right)$.

$\Rightarrow E$ là điểm chung của $\left(SBD\right)$ và $\left(AMK\right)$. (1)

2. Xét điểm $N$:

Theo giả thiết, $N=AF\cap BD$.

Vì $N\in BD\subset \left(SBD\right)\Rightarrow N\in \left(SBD\right)$.

Vì $N\in AF\subset \left(AMK\right)\Rightarrow N\in \left(AMK\right)$.

$\Rightarrow N$ là điểm chung của $\left(SBD\right)$ và $\left(AMK\right)$. (2)

3. Xét điểm $I$:

Theo giả thiết, $I=KM\cap SD$.

Vì $I\in SD\subset \left(SBD\right)\Rightarrow I\in \left(SBD\right)$.

Vì $I\in KM\subset \left(AMK\right)\Rightarrow I\in \left(AMK\right)$.

$$\Rightarrow I$$ là điểm chung của $\left(SBD\right)$ và $\left(AMK\right)$. (3)

Từ (1), (2) và (3), ta thấy cả ba điểm $N,E,I$ đều cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt $\left(SBD\right)$ và $\left(AMK\right)$.

Kết luận: Ba điểm $N,E,I$ thẳng hàng (đpcm).

0,5