Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT Nguyễn Thị Minh Khai (Hà Nội) có đáp án

Sử dụng công thức nhân đôi: $2\mathrm{co}{\mathrm{s}}^{2}x-1=\cos 2x$.

Phương trình ban đầu tương đương với: $\cos 2x=\cos \left(\pi -3x\right)$

$\iff [\begin{array}{rr}2x& =\pi -3x+k2\pi \\ 2x& =-\left(\pi -3x\right)+k2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{rr}5x& =\pi +k2\pi \\ -x& =-\pi +k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$$\iff [\begin{array}{rr}x& =\frac{\pi }{5}+\frac{k2\pi }{5}\\ x& =\pi -k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Họ nghiệm thứ hai có thể biểu diễn gọn lại dưới dạng $x=\pi +k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Vậy phương trình có tập nghiệm là: $S=\left\{\frac{\pi }{5}+\frac{k2\pi }{5};\pi +k2\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Số ghế ở mỗi hàng của khán đài lập thành một cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có số hạng đầu tiên $u_1=20$, công sai $d=5$, và tổng số hạng cần tính là $n=60$.

Tổng số ghế trong khán đài chính là tổng của 60 số hạng đầu tiên này:

$S_{60}=\frac{n}{2}\cdot \left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]=\frac{60}{2}\cdot \left[2\cdot 20+\left(60-1\right)\cdot 5\right]$$=10050$ (ghế).

Vậy góc khán đài A có tất cả $10050$ ghế.

a) Vì $E$ là trọng tâm  với đường trung tuyến $SM$ ($M$ là trung điểm $AD$) nên $E\in SM$ và thỏa mãn $\genfrac{}{}{0ex}{}{SE}{SM}=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}$.

Tương tự, $F$ là trọng tâm  với đường trung tuyến $SN$ ($N$ là trung điểm $BC$) nên $F\in SN$ và thỏa mãn $\genfrac{}{}{0ex}{}{SF}{SN}=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}$.

Xét tam giác $SMN$, ta có: $\genfrac{}{}{0ex}{}{SE}{SM}=\genfrac{}{}{0ex}{}{SF}{SN}=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}$.

Theo định lý Thales đảo trong tam giác $SMN$, suy ra $EF//MN$.

Mặt khác, trong hình thang $ABCD$, $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của hai cạnh bên $AD$ và $BC$ nên $MN$ là đường trung bình của hình thang $\Rightarrow MN//AB$.

Từ hệ thức bắc cầu $\{\begin{array}{l}EF//MN\\ MN//AB\end{array}\Rightarrow EF//AB$.

b) Trong $\Delta SAD$, vì $E$ là trọng tâm nên đường thẳng $AE$ chính là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $A$.

Gọi $P$ là trung điểm của $SD$. Khi đó, $P$ phải thuộc đường thẳng $AE$.

Ta có: $\{\begin{array}{l}P\in AE\subset \left(AEF\right)\\ P\in SD\subset \left(SCD\right)\end{array}\Rightarrow P\in \left(AEF\right)\cap \left(SCD\right)$.

Vậy $P$ là một điểm chung của hai mặt phẳng $\left(AEF\right)$ và $\left(SCD\right)$.

Xét hai mặt phẳng $\left(AEF\right)$ và $\left(SCD\right)$, ta có:

$P$ là điểm chung của hai mặt phẳng.

Mặt phẳng $\left(AEF\right)$ chứa đường thẳng $EF$.

Mặt phẳng $\left(SCD\right)$ chứa đường thẳng $CD$.

Mà $EF//CD$ (vì cùng song song với $AB$).

Theo định lí về giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song: Giao tuyến $d$ của $\left(AEF\right)$ và $\left(SCD\right)$ sẽ là đường thẳng đi qua điểm chung $P$ và song song với cả $EF$ và $CD$.

Kết luận: Giao tuyến $d$ là đường thẳng qua $P$ (trung điểm $SD$) và song song với $CD$ (đường thẳng $d$ này cũng chính là đường trung bình $PQ$ của $\Delta SCD$, với $Q$ là trung điểm của $SC$).

Theo cách xác định giao tuyến ở trên, đường thẳng $d$ được dựng song song với $CD$ và $EF$.

Do đó, ta hiển nhiên có: $d//EF$.