Đề thi Giữa kì 1 Toán 8 năm 2024-2025 THCS Ba Đình (Hà Nội) có đáp án

a) Bậc của đơn thức $A$ là: $6$

b) Thay $x=-1;y=\frac{1}{2};z=5$ vào đơn thức $A$, ta được:

$A=\frac{-3}{4}.{\left(-1\right)}^3.{\left(\frac{1}{2}\right)}^2.5=\frac{15}{16}$

Vậy với $A=\frac{-3}{4}{x}^3{y}^{2}z$ thì $A=\frac{15}{16}$

c) $M=A.B=\frac{-3}{4}{x}^3{y}^{2}z.\frac{1}{3}x{y}^3{z}^3=\frac{-1}{4}{x}^4{y}^5{z}^4$

a) $x\left(x^2+2xy+3x\right)-3x^2+2x^{2}y$

$=x^3+2x^{2}y+3x^2-3x^2+2x^{2}y$

$=x^3+4x^{2}y$

b) $3x^2+\left(x+y\right)\left(x-y\right)$

$=3x^2+x^2-y^2=4x^2-y^2$

c) $\left(10x^5{y}^3-15x^5{y}^2\right):5x^4{y}^2-\left(2x-3\right)\left(x+y\right)$

$=2xy-3x-\left(2x^2+2xy-3x-3y\right)$

$=2xy-3x-2x^2-2xy+3x+3y$

$=-2x^2+3y$

a) $$x\left(3x-5\right)+7x-3x^2=10$$

$$\begin{array}{l}3x^2-5x+7x-3x^2=10\\ 2x=10\\ x=5\end{array}$$

b) $$\left(x-2\right)\left(x+2\right)+{\left(2x+1\right)}^2+1=5x^2-3x$$

$$\begin{array}{l}{x}^2-4+4x^2+4x+1+1=5x^2-3x\\ 7x=2\\ x=\frac{2}{7}\end{array}$$

c) $${\left(x+1\right)}^3-\left(3x+1\right)\left(2x-2\right)=x^3+7x-9$$

$$\begin{array}{l}{x}^3+3x^2+3x+1-6x^2+6x-2x+2=x^3+7x-9\\ -3x^2+12=0\\ -3\left(x^2-4\right)=0\\ x^2-4=0\\ x^2=4\end{array}$$

$$x=2$$ hoặc $$x=-2$$

Vậy $$x\in \left\{-2;2\right\}$$

a) Diện tích mảnh vườn theo $$x,y$$ là: $$2y\left(2x+10\right)\left(m^2\right)$$

b) Diện tích khu trồng hoa theo $$x,y$$ là: $$2y\left(x+1\right)\left(m^2\right)$$

Diện tích khu đất trồng rau theo $$x,y$$ là: $$2y\left(2x+10\right)-2y\left(x+1\right)=2y\left(2x+10-x-1\right)=2y\left(x+9\right)\left(m^2\right)$$

Với $$x=4,y=5$$ ta có diện tích khu đất trồng rau là $$2.5\left(4+9\right)=130m^2$$

a) Chứng minh: Tứ giác $BHCD$ là hình bình hành.

Xét tứ giác $$BHCD$$ có $HM=MD$, $BM=MC$.

Do đó tứ giác $$BHCD$$ là hình bình hành.

b) Chứng minh: Tứ giác $ABDH$ là hình chữ nhật.

Vì $$BHCD$$ là hình bình hành (câu a) nên $BD//HC$hay $BD//AH$

Vì $MH\perp AC$ (gt) hay $DH\perp AC$

Ta có: $\{\begin{array}{l}AB\perp AC\\ DH\perp AC\end{array}$ nên $AB//DH$

Xét tứ giác $$ABDH$$ có: $BD//AH$ và $AB//DH$ nên $$ABDH$$ là hình bình hành.

Xét hình bình hành $$ABDH$$có $\widehat{BAH}=90^{\circ }$ nên $$ABDH$$ là hình chữ nhật.

c) Chứng minh: Tứ giác $AMCK$ là hình thoi.

• Xét tứ giác $$AMCK$$ có: $AK//MC$ (cmt) và $$CK//AM$$ (gt) nên $$AMCD$$ là hình bình hành.

Vì $$M$$ là trung điểm của $$BC$$ (gt) nên $$AM$$ là đường trung tuyến của $\Delta ABC$.

• Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $$AM$$ là đường trung tuyến và $AM=\frac{BC}{2}$ (tính chất).

Vì $$M$$ là trung điểm của $$BC$$ (gt) nên $MC=\frac{BC}{2}$ (tính chất).

• Xét hình bình hành $$AMCD$$ có $$AM=MC$$( cùng bằng $$\frac{BC}{2}$$).

Do đó $$AMCD$$ là hình thoi (dấu hiệu nhận biết).

d) Tam giác $ABC$ cần có thêm điều kiện gì để tứ giác $AMCK$ là hình vuông.

Vì tứ giác $$AMCK$$ là hình thoi nên để tứ giác $$AMCK$$ là hình vuông khi $AM\perp MC$ hay $AM\perp BC$

Xét $\Delta ABC$ có $$AM$$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên $\Delta ABC$cân tại $$A$$.

Vậy $$\Delta ABC$$ cần có thêm điều kiện $$AB=AC$$thì $AMCK$ là hình vuông.

Cách không dùng nhận xét tam giác cân

Vì tứ giác $$AMCK$$ là hình thoi nên để tứ giác $$AMCK$$ là hình vuông khi $AM\perp MC$ hay $AM\perp BC$

Suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=90^{\circ }$

Xét $\Delta AMB$ và $\Delta AMC$ có:

$$AM$$ chung; $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}(\mathrm{cmt})$; $MB=MC$ (câu c)

Do đó $\Delta AMB=\Delta AMC$ (c.g.c).

Suy ra $AB=AC$ (hai cạnh tương ứng).

Vậy $$\Delta ABC$$ cần có thêm điều kiện $$AB=AC$$thì $AMCK$ là hình vuông.

Ta có: $$a+b+c=6$$

$$\begin{array}{l}{\left(a+b+c\right)}^2=6^2\\ a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=36\\ \left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(2ab+2bc+2ca\right)=36\\ 12+2\left(ab+bc+ca\right)=36\\ 2\left(ab+bc+ca\right)=24\\ ab+bc+ca=12\end{array}$$

Ta có $${\left(a-b\right)}^2+{\left(b-c\right)}^2+{\left(c-a\right)}^2$$

$$=a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2$$

$$\begin{array}{l}=\left(a^2+a^2\right)+\left(b^2+b^2\right)+\left(c^2+c^2\right)+\left(-2ab-2bc-2ca\right)\\ =2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+bc+ca\right)\\ =2.12-2.12=0\end{array}$$

Suy ra $$\{\begin{array}{l}a-b=0\\ b-c=0\left(\mathrm{do}{\left(a-b\right)}^2\ge 0;{\left(b-c\right)}^2\ge 0;{\left(c-a\right)}^2\ge 0\right)\\ c-a=0\end{array}$$ nên $$\{\begin{array}{l}a=b\\ b=c\\ c=a\end{array}$$.

Thay $$a=b=c$$ vào $$a+b+c=6$$ ta được $$c+c+c=6$$ nên $$c=2$$.

Suy ra $$a=b=c=2$$.

Thay $$a=b=c=2$$ vào $$P={\left(a-3\right)}^{2023}+{\left(b-3\right)}^{2024}+{\left(c-3\right)}^{2025}$$ có

$$P={\left(2-3\right)}^{2023}+{\left(2-3\right)}^{2024}+{\left(2-3\right)}^{2025}=\left(-1\right)+1+\left(-1\right)=-1$$.

Vậy $$P=-1$$.