Đề thi cuối kì 1 Toán 8 Cánh diều (2023-2024) – Đề 1 (có đáp án)

a) Với điều kiện $x\ne 2;x\ne -2,$ ta có:

$A=\frac{x}{x-2}-\frac{2x+1}{x+2}-\frac{x^2+8}{4-x^2}$

   $=\frac{x\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{\left(2x+1\right)\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\frac{x^2+8}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$

   $=\frac{x^2+2x-\left(2x^2-4x+x-2\right)+x^2+8}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$

   $=\frac{x^2+2x-2x^2+4x-x+2+x^2+8}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$

   $=\frac{5x+10}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$$=\frac{5\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$$=\frac{5}{x-2}.$

Vậy với $x\ne 2;x\ne -2$ thì $A=\frac{5}{x-2}.$

b) Thay $x=-6$ (thỏa mãn điều kiện) vào $A$ ta có: $A=\frac{5}{-6-2}=\frac{5}{-8}=\frac{-5}{8}.$

Vậy với  $x=-6$ thì $A=\frac{-5}{8}.$

c) Với $x\ne 2;x\ne -2,$ để $A=2$ ta có: $\frac{5}{x-2}=2$

$5=2\left(x-2\right)$

$x-2=\frac{5}{2}$

$x=\frac{5}{2}+2$

$x=\frac{9}{2}$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy với $x=\frac{9}{2}$ thì $A=2$.

d) Với $x\ne 2;x\ne -2$ và $x\ne -1$ ta có:

$M=A:B=\frac{5}{x-2}:\frac{5}{x+1}=\frac{x+1}{x-2}$$=\frac{x-2+3}{x-2}=1+\frac{3}{x-2}.$

Để $M$ nguyên khi $\frac{3}{x-2}$ nguyên khi $x-2\in$Ư$\left(3\right)=\left\{-3;-1;1;3\right\}.$

Ta có bảng giá trị

a) $x\left(3-2x\right)+2x^2=12$ $3x-2x^2+2x^2=12$ $3x=12$ $x=4$ Vậy $x=4$.	b) $x\left(x-3\right)-x+3=0$ $x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)=0$ $\left(x-3\right)\left(x-1\right)=0$ $x-3=0$ hoặc $x-1=0$ $x=3$ hoặc $x=1$ Vậy $x\in \left\{3;1\right\}.$
c) $x^3-3x^2+3x-1=0$ ${\left(x-1\right)}^3=0$ $x-1=0$      $x=1$ Vậy $x=1$.	d) ${\left(3x-1\right)}^2-\left(x^2-2x+1\right)=0$     ${\left(3x-1\right)}^2-{\left(x-1\right)}^2=0$     $\left(3x-1-x+1\right)\left(3x-1+x-1\right)=0$       $2x\left(4x-2\right)=0$       $2x=0$ hoặc $4x-2=0$         $x=0$ hoặc $x=\frac{1}{2}$ Vậy $x\in \left\{0;\frac{1}{2}\right\}.$

Do đó $$\widehat{MEA}=180^{\circ }-\widehat{MEC}=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }.$$

Tứ giác $$ADME$$ có: $$\widehat{DAE}=\widehat{MDA}=\widehat{MEA}=90^{\circ }.$$

Do đó tứ giác $$ADME$$ có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

c) Xét $\Delta ABC$ có $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ nên $AM=\frac{1}{2}BC.$

Mà $M$ là trung điểm của $BC$ nên $MB=MC=\frac{1}{2}BC.$

Do đó $MB=MC=AM=\frac{1}{2}BC.$

Xét $\Delta ABM$ có $MA=MB$ nên $\Delta ABM$ cân tại $M,$ khi đó $MD$ là đường cao của tam giác nên đồng thời là đường trung tuyến của $\Delta ABM.$

Do đó $$D$$ là trung điểm $$AB$$ nên $$DA=DB=\frac{1}{2}AB.$$

Mà $ME=DA$ (do $$ADME$$ là hình chữ nhật) nên $ME=DB.$

Xét tứ giác $BDEM$ có $ME//BD$ và $ME=DB,$ nên là hình bình hành.

d) Xét $\Delta ABC$ có $$ME//AB$$ và $$M$$ là trung điểm của $$BC$$ nên $$E$$ là trung điểm $$AC.$$

Tứ giác $$AKCB$$ có $E$ là trung điểm của $AC$ và $BK$ (do $$BE=EK)$$ nên tứ giác $$AKCB$$ là hình bình hành. Suy ra $$AK//BC.\left(3\right)$$

Tứ giác $$AICM$$ có $E$ là trung điểm của $AC$ và $MI$ (do $$EM=EI)$$ nên tứ giác $$AICM$$ là hình bình hành. Suy ra $$AI//BC.\left(4\right)$$

Theo tiên đề Euclid, qua $$A$$ chỉ vẽ được duy nhất 1 đường thẳng song song với $$BC$$ nên từ $$\left(3\right)$$ và $$\left(4\right)$$ ta phải có $$A;I;K$$ thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $P=x^2-2xy+2y^2-2x+3y+3$

$=x^2-2xy+y^2-2x+2y+1+y^2+y+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{4}+\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{4}$

$={\left(x-y\right)}^2-2\left(x-y\right)+1+{\left(y+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\right)}^2+\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{4}$

$={\left(x-y-1\right)}^2+{\left(y+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\right)}^2+\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{4}.$

Vì: ${\left(x-y-1\right)}^2\ge 0$ với mọi $x,y;$

${\left(y+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\right)}^2\ge 0$ với mọi $y$

Nên: $P\ge \genfrac{}{}{0ex}{}{7}{4}.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x-y-1=0$ và $y+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}=0,$ tức là $y=-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}$ và $x=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{4}$ khi $x=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}$ và $y=-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}.$

b) Với $a,b,c$ đôi một khác nhau ta có biểu thức có nghĩa.

Khi đó: $B=\genfrac{}{}{0ex}{}{bc}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\genfrac{}{}{0ex}{}{ac}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\genfrac{}{}{0ex}{}{ab}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}$

$=\genfrac{}{}{0ex}{}{bc}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}-\genfrac{}{}{0ex}{}{ac}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\genfrac{}{}{0ex}{}{ab}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}$

$=\genfrac{}{}{0ex}{}{bc\left(b-c\right)-ac\left(a-c\right)+ab\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}$

$=\genfrac{}{}{0ex}{}{bc\left(b-c\right)-a^{2}c+a{c}^2+a^{2}b-a{b}^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}$

$=\genfrac{}{}{0ex}{}{bc\left(b-c\right)+\left(-a^{2}c+a^{2}b\right)-\left(a{b}^2-a{c}^2\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}$

$=\genfrac{}{}{0ex}{}{bc\left(b-c\right)+a^2\left(b-c\right)-a\left(b-c\right)\left(b+c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}$

$=\genfrac{}{}{0ex}{}{\left(b-c\right)\left(bc+a^2-ab-ac\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}$

$=\genfrac{}{}{0ex}{}{\left(b-c\right)\left[-\left(ac-bc\right)+\left(a^2-ab\right)\right]}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}$

$=\genfrac{}{}{0ex}{}{\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left(a-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}=1.$

Vậy giá trị biểu thức $B$ không phụ thuộc vào $a,b,c.$