Đề thi cuối kì Toán 8 Cánh diều – Đề 8 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) $9x\left(x-1\right)-{\left(3x-1\right)}^2=0$ $9x^2-9x-\left(9x^2-6x+1\right)=0$ $9x^2-9x-9x^2+6x-1=0$ $\left(9x^2-9x^2\right)+\left(-9x+6x\right)-1=0$ $-3x=1$ $x=-\frac{1}{3}.$ Vậy $x=-\frac{1}{3}.$

b) $x^3-4x=0$ $x\left(x^2-4\right)=0$ $x\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0$ Suy ra $x=0$ hoặc $x-2=0$ hoặc $x+2=0$  $x=0$ hoặc $x=2$ hoặc $$x=-2.$$ Vậy $x\in \left\{0;2;-2\right\}.$ c) $x^2+5x=6$ $x^2+5x-6=0$ $x^2-x+6x-6=0$ $x\left(x-1\right)+6\left(x-1\right)=0$ $\left(x-1\right)\left(x+6\right)=0$ Suy ra $x-1=0$ hoặc $x+6=0$ $x=1$ hoặc $x=-6.$ Vậy $x\in \left\{1;-6\right\}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có $x^2-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right).$

Điều kiện xác định của biểu thức $N$ là $x+1\ne 0,$ $x-1\ne 0,$ $2+x\ne 0$ và $x^2-1\ne 0$

Hay $x\ne -1,$$x\ne 1$ và $x\ne -2.$

Vậy biểu thức $N$ xác định khi $x\ne -1,$ $x\ne 1$ và $x\ne -2.$

b) Với $x\ne -1,$ $x\ne 1$ và $x\ne -2,$ ta có:

$N=\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}+\frac{x^2}{x^2-1}\right)\cdot \frac{x-1}{2+x}$

$$=\frac{1}{x+1}\cdot \frac{x-1}{2+x}+\frac{1}{x-1}\cdot \frac{x-1}{2+x}+\frac{x^2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\cdot \frac{x-1}{2+x}$$

$$=\frac{x-1}{\left(x+1\right)\left(2+x\right)}+\frac{1}{2+x}+\frac{x^2}{\left(x+1\right)\left(2+x\right)}$$

$$=\frac{x-1+x+1+x^2}{\left(x+1\right)\left(2+x\right)}$$

$$=\frac{x^2+2x}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}$$

$$=\frac{x\left(x+2\right)}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=\frac{x}{x+1}.$$

Vậy với $x\ne -1,$ $x\ne 1$ và $x\ne -2,$ thì $N=\frac{x}{x+1}.$

c) Ta có $\left|x\right|=2$ suy ra $x=2$ (thỏa mãn điều kiện) hoặc $x=-2$ (không thỏa mãn điều kiện).

Thay $x=2$ vào biểu thức $N=\frac{x}{x+1},$ ta được:

$N=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}.$

Vậy $N=\frac{2}{3}$ khi $\left|x\right|=2.$

Hướng dẫn giải

a) Vì 1 hải lí bằng $$1,852$$ km nên ta có: $$y=1,852x.$$

Giá trị âm của $$x$$ trong trường hợp này không có ý nghĩa, vì chiều dài là một đại lượng không âm.

b) Ta có:

Khi $$x=0$$ thì $$y=0.$$

Khi $$x=5$$ thì $$y=9,26.$$

Đồ thị của hàm số $$y=1,852x$$ (với $$x$$ không âm) là một phần đường thẳng như hình bên, đi qua các điểm $$\left(0;0\right)$$ và $$\left(5;9,26\right).$$

c) Một hành trình đi biển dài 350 hải lí. Tức là $$x=350.$$

Khi đó, hành trình dài số km là: $$y=1,852\cdot 350=648,2$$ (km).

Hướng dẫn giải

1)

a) Do $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên $ABCD$ là hình vuông cạnh $3\mathrm{m}.$

Do đó, áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $ABD$ vuông tại $A$ ta được:

$B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2=3^2+3^3=18$

Suy ra $BD=\sqrt{18}\approx 4,2\mathrm{m}.$

b) Gọi $SM$ là trung đoạn của hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ (hình vẽ).

ABC vuông ở \(A (ảnh 2)">

Khi đó \(\Delta SAD\) cân tại $S$ có $SM$ là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên $M$ là trung điểm của $AD.$ Suy ra $MD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}\cdot 3=1,5\left(\mathrm{m}\right).$

Xét $\Delta SMD$ vuông tại $M$ có $S{D}^2=S{M}^2+M{D}^2$ (định lí Pythagore)

Suy ra $S{M}^2=S{D}^2-M{D}^2=3,5^2-1,5^2=10.$

Do đó $SM=\sqrt{10}\approx 3,2\left(\mathrm{m}\right).$

Diện tích xung quanh của chiếc lều là:

$S_{xq}=\frac{1}{2}\cdot \left(4AD\right)\cdot SM\approx \frac{1}{2}\cdot \left(4\cdot 3\right)\cdot 3,2=19,2\left({\mathrm{m}}^2\right).$

Vậy diện tích vải để làm chiếc lều đó là khoảng $19,2{\mathrm{m}}^2.$

2)

ABC vuông ở \(A (ảnh 3)">

a) Ta có \(GF \bot AC\) và $AB\perp AC$ (do $\Delta ABC$ vuông tại $A)$ nên $GF//AB.$

Xét tứ giác $BEIF$ có $BE//FI$ (do $GF//AB)$ và $EI//BF$ nên $BEIF$ là hình bình hành.

b) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AG$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ nên $AG=\frac{1}{2}BC$ (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Mà $G$ là trung điểm của $BC$ nên $BG=CG=\frac{1}{2}BC$

Do đó $AG=BG=CG=\frac{1}{2}BC.$

Suy ra $\Delta ABG$ và $\Delta ACG$ đều là tam giác cân tại $G.$

Xét $\Delta ABG$ cân tại $G$ có đường cao $GE$ nên đồng thời là đường trung tuyến, do đó $E$ là trung điểm của $$AB$$ nên $BE=AE.$ (1)

Tương tự với $\Delta ACG$ cân tại $G$ ta cũng có $GF$ vừa là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên $F$ là trung điểm của $AC.$

Xét tứ giác $AEGF$ có:

⦁ $\widehat{EAF}=90^{\circ }$ (do $\Delta ABC$ vuông tại $A);$

⦁ $\widehat{AEG}=90^{\circ }$ (do $GE\perp AB);$

⦁ $\widehat{AFG}=90^{\circ }$ (do $GF\perp AC)$

Do đó tứ giác $AEGF$ là hình chữ nhật.

Suy ra $AE=GF$ (2)

Mà $BEIF$ là hình bình hành nên $BE=FI$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $GF=FI$ hay $F$ là trung điểm của $GI.$

Xét tứ giác $AGCI$ có hai đường chéo $GI$ và $AC$ cắt nhau tại trung điểm $F$ của mỗi đường nên $AGCI$ là hình bình hành.

Lại có $GI$ vuông góc với $AC$ nên hình bình hành $AGCI$ là hình thoi.

Để $AGCI$ là hình vuông thì $GI=AC$

Lại có $AB=2AE,GI=2GF$ và $AE=GF$nên $AB=GI$

Khi đó ta sẽ có $AB=AC$ hay $\Delta ABC$ cân tại $A.$

Vậy tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ thì $AGCI$ là hình vuông.

Hướng dẫn giải

Ta có $A=x\left(x-7\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)=\left(x^2-7x\right)\left(x^2-7x+12\right).$

Đặt $t=x^2-7x+6,$ ta có:

⦁ $x^2-7x=t-6;$

⦁ $x^2-7x+12=t+6.$

Khi đó $A=\left(t-6\right)\left(t+6\right)=t^2-36.$

Nhận xét: với mọi $t$ ta có $t^2\ge 0$ nên $t^2-36\ge -36$ hay $A\ge -36.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $t^2=0$ hay $x^2-7x+6=0$

$$\left(x^2-x\right)-\left(6x-6\right)=0$$

$$x\left(x-1\right)-6\left(x-1\right)=0$$

$$\left(x-1\right)\left(x-6\right)=0$$

Suy ra $x-1=0$ hoặc $x-6=0$

$x=1$ hoặc $x=6$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$A$$ bằng $-36$ khi $x\in \left\{1;6\right\}.$