Đề thi giữa kì 1 Toán 8 Cánh diều – Đề 1 (có đáp án)

a) $\left(-12x^{13}{y}^{15}+6x^{10}{y}^{14}\right):\left(-3x^{10}{y}^{14}\right)$

$=\left(-12x^{13}{y}^{15}\right):\left(-3x^{10}{y}^{14}\right)+\left(6x^{10}{y}^{14}\right):\left(-3x^{10}{y}^{14}\right)$

a) $$xy+y^2--x--y$$

$=\left(xy+y^2\right)--\left(x+y\right)$

$=y\left(x+y\right)--\left(x+y\right)$

$A=\frac{2x^2}{x^2-4}-\frac{x}{x-2}-\frac{2}{x+2}.$

a) Điều kiện xác định của biểu thức $A$ là: $x^2-4\ne 0;x-2\ne 0;x+2\ne 0$

Mà $x^2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $x-2\ne 0$ và $x+2\ne 0$ hay $x\ne \pm 2.$

b) Với điều kiện xác định $x\ne \pm 2$ ta có:

$A=\frac{2x^2}{x^2-4}-\frac{x}{x-2}-\frac{2}{x+2}$

$=\frac{2x^2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{x\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{2\left(x-2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}$

$=\frac{2x^2-x^2-2x-2x+4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$$=\frac{x^2-4x+4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$

$=\frac{{\left(x-2\right)}^2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$$=\frac{x-2}{x+2}.$

c) Với $x\ne \pm 2,$ để $A=2$ thì $\frac{x-2}{x+2}=2$

Suy ra $x-2=2\left(x+2\right)$

Do đó $x-2=2x+4$

Hay $x=-6$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy $x=-6.$

a) Số đo góc $D$ ở đuôi chiếc diều là:

$\hat{D}=360^{\circ }-\left(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}\right)=360^{\circ }-\left(102^{\circ }+102^{\circ }+102^{\circ }\right)=54^{\circ }.$

b) Xét $\Delta OAD$ vuông tại $O$, theo định lí Pythagore ta có:

$O{A}^2=A{D}^2-O{D}^2=30^2-26,7^2=187,11$

Xét $\Delta OAB$ vuông tại $O,$ theo định lí Pythagore ta có:

$O{B}^2=A{B}^2-O{A}^2=17,5^2-187,11=119,14$

Do đó $OB=\sqrt{119,14}\approx 10,9$ (cm).

Suy ra $BD=OB+OD\approx 10,9+26,7=37,6$ (cm).

Ta có: $M=x^2-2x\left(y+1\right)+3y^2+2025$

$=x^2-2x\left(y+1\right)+{\left(y+1\right)}^2-\left(y^2+2y+1\right)+3y^2+2025$

$=x^2-2x\left(y+1\right)+{\left(y+1\right)}^2+2y^2-2y+2024$

$=\left[x^2-2x\left(y+1\right)+{\left(y+1\right)}^2\right]+2\left(y^2-y+\frac{1}{4}\right)+2024-\frac{1}{2}$

$={\left(x-y-1\right)}^2+2{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{4047}{2}.$

Nhận xét: với mọi $x,y$ ta có:

• ${\left(x-y-1\right)}^2\ge 0;$

• $2{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2\ge 0$

Do đó $M={\left(x-y-1\right)}^2+2{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{4047}{2}\ge \frac{4047}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\{\begin{array}{l}{\left(x-y-1\right)}^2=0\\ 2{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2=0\end{array}$ hay $\{\begin{array}{l}x-y-1=0\\ y-\frac{1}{2}=0\end{array}$ nên $\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}\\ y=\frac{1}{2}\end{array}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M$ là $\frac{4047}{2}$ khi $x=\frac{3}{2}$ và $y=\frac{1}{2}.$