Đề thi giữa kì 1 Toán 8 Cánh diều – Đề 10 (có đáp án)

a) Với $x\ne \pm 3$  ta có:

$A=\frac{x+15}{x^2-9}+\frac{2}{x+3}=\frac{x+15}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}+\frac{2}{x+3}$

$=\frac{x+15+2\left(x-3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}$$=\frac{x+15+2x-6}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}$

$=\frac{3x+9}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}$$=\frac{3\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}=\frac{3}{x-3}$

Vậy với $x\ne \pm 3$  thì $A=\frac{3}{x-3}.$

b) Với $x\ne \pm 3$ , để $A=\frac{-1}{2}$  thì ta có: $\frac{3}{x-3}=\frac{-1}{2}$

Suy ra $-x+3=6$

Do đó $x=-3$  (không thỏa mãn)

Vậy không có giá trị nào của x  để $A=\frac{-1}{2}.$

Với $x\ne \pm 3$ , để A  nguyên thì $\frac{3}{x-3}\in \mathbb{Z}$ , tức $x-3\in$ Ư(3)

Mà Ư$\left(3\right)=\left\{\pm 1;\pm 3\right\}$ , ta có bảng sau:

Các giá trị x  tìm được ở trên đều thỏa mãn điều kiện $x\ne \pm 3$  và x  là số tự nhiên.

Vậy $x\in \left\{0;2;4;6\right\}$ .

a) Thể tích không khí bên trong lều chính là thể tích hình chóp tứ giác đều:

 $V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}{.2}^2.2=\frac{8}{3}\approx \mathrm{2,67}$(m³).

b) Số mét vải bạt cần thiết để dựng lều chính là diện tích xung quanh hình chóp tứ giác đều và bằng:

$S_{xq}=\frac{1}{2}Cd=\frac{1}{2}\left(2.4\right)\mathrm{.2,24}\approx \mathrm{8,96}$ (m²).

Trong tứ giác MNPQ, ta có: $\hat{Q}+\widehat{QMN}+\hat{N}+\widehat{NPQ}=360°$

 Suy ra $\widehat{NPQ}=360°-\left(\widehat{QMN}+\hat{N}+\hat{Q}\right)=360°-\left(110°+120°+60°\right)=70°$ .

Do PM là tia phân giác của góc NPQ nên ta có:

$\widehat{NPM}=\widehat{MPQ}=\frac{\widehat{NPQ}}{2}=\frac{70°}{2}=35°$.

Trong tam giác MPQ, ta có: $\hat{Q}+\widehat{QMP}+\widehat{MPQ}=180°$

Suy ra$\widehat{QMP}=180°-\left(\widehat{MPQ}+\hat{Q}\right)=180°-\left(35°+60°\right)=85°$ .

Vậy $\widehat{NPM}=\widehat{MPQ}=35°$ , $\widehat{QMP}=85°$ .

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác AHB vuông tại H ta có:

$A{B}^2=A{H}^2+H{B}^2$

Suy ra $H{B}^2=A{B}^2-A{H}^2=5^2-3^2=25-9=16$

Do đó $HB=\sqrt{16}=4$  cm, nên $CH=BC-HB=10-4=6$  cm.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác AHC vuông tại H ta có:

 $A{C}^2=A{H}^2+H{C}^2=3^2+6^2=9+36=45$

Suy ra  $AC=\sqrt{45}\approx \mathrm{6,7}$ m.

Vậy chiều dài đường trượt AC là $\mathrm{6,7}$m.

Ta có: $a^3+b^3+c^3-3abc$

$={\left(a+b\right)}^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc$

$={\left(a+b\right)}^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc$

$={\left(a+b\right)}^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)$

$=\left(a+b+c\right)\left({\left(a+b\right)}^2-\left(a+b\right)c+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)$

$=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)$

Suy ra $a^3+b^3+c^3=3abc$  hay $a^3+b^3+c^3-3abc=0$

Nên $a+b+c=0$  hoặc $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0(*)$

Mặt khác $2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca$

$={\left(a-b\right)}^2+{\left(b-c\right)}^2+{\left(c-a\right)}^2$

Do đó $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}\left({\left(a-b\right)}^2+{\left(b-c\right)}^2+{\left(c-a\right)}^2\right)\ge 0$  với mọi a, b, c

Nên để (*) xảy ra thì $\left(\begin{array}{c}{\left(a-b\right)}^2=0\\ {\left(b-c\right)}^2=0\\ {\left(c-a\right)}^2=0\end{array}\right)$ , hay $\left(\begin{array}{c}a-b=0\\ b-c=0\\ c-a=0\end{array}\right)$  tức $a=b=c$ .

⦁ Trường hợp 1: $a+b+c=0$

Suy ra $a+b=-c;b+c=-a;c+a=-b$

Khi đó $A=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=\frac{a+b}{b}.\frac{b+c}{c}.\frac{c+a}{a}=\frac{-c}{b}.\frac{-a}{c}.\frac{-b}{a}=-1.$

⦁ Trường hợp 2: $a=b=c$ thì ta được $A=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=\mathrm{2.2.2}=8$ .