Đề thi giữa kì 1 Toán 8 Kết nối tri thức – Đề 1 (có đáp án)

a) Với $x,y,z$ là các biến, ta có đa thức $P$ có 4 hạng tử:

+ Hạng tử $5xyz$ có bậc là 3.

+ Hạng tử $-2x^2$ có bậc là 2.

+ Hạng tử $4xy$ có bậc là 2.

+ Hạng tử $-5$ có bậc là 0.

Vậy bậc của đa thức $P$ bằng 3.

b) Ta có:

$$P+Q=\left(5xyz-2x{}^2+4xy-5\right)+\left(-xyz+4x^2+2xy-7\right)$$

$$=5xyz-2x{}^2+4xy-5-xyz+4x^2+2xy-7$$

$=\left(5xyz-xyz\right)+\left(-2x^2+4x^2\right)+\left(4xy+2xy\right)-\left(5+7\right)$

$$=4xyz+2x^2+6xy-12$$.

$$P-Q=\left(5xyz-2x{}^2+4xy-5\right)-\left(-xyz+4x^2+2xy-7\right)$$

$$=5xyz-2x{}^2+4xy-5+xyz-4x^2-2xy+7$$

$=\left(5xyz+xyz\right)+\left(-2x^2-4x^2\right)+\left(4xy-2xy\right)+\left(-5+7\right)$

$$=6xyz-6x^2+2xy+2$$.

Ta có $x^3+3x^2+3x+1=x^3+3x^2.1+3x.1^3+1^3={\left(x+1\right)}^3$.

Thay $x=99$ vào biểu thức ${\left(x+1\right)}^3$ ta được ${\left(99+1\right)}^3=100^3=1000000$.

Vậy giá trị của biểu thức $x^3+3x^2+3x+1$ tại $x=99$ là $1000000$.

Ta có $$A=\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)-\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)$$

$=\left(x^3+1^3\right)-\left(x^3-1^3\right)$

$=x^3+1-x^3+1$

$=\left(x^3-x^3\right)+\left(1+1\right)$

$=2$ với mọi $x$.

Vậy giá trị của biểu thức $A$ không phụ thuộc vào biến $x$.

Ta có $VT=\left(x+y\right)\left(x^4-x^{3}y+x^2{y}^2-x{y}^3+y^4\right)$

         $=x\left(x^4-x^{3}y+x^2{y}^2-x{y}^3+y^4\right)+y\left(x^4-x^{3}y+x^2{y}^2-x{y}^3+y^4\right)$

         $=x^5-x^{4}y+x^3{y}^2-x^2{y}^3+x{y}^4+x^{4}y-x^3{y}^2+x^2{y}^3-x{y}^4+y^5$

         $=\left(x^5+y^5\right)+\left(-x^{4}y+x^{4}y\right)+\left(x^3{y}^2-x^3{y}^2\right)+\left(-x^2{y}^3+x^2{y}^3\right)+\left(x{y}^4-x{y}^4\right)$

         $=x^5+y^5=VP$.

Suy ra điều phải chứng minh.

Ta có $$A={\left(xy+1\right)}^2-{\left(x+y\right)}^2$$

         $=\left[\left(xy+1\right)+\left(x+y\right)\right].\left[\left(xy+1\right)-\left(x+y\right)\right]$

         $=\left(xy+1+x+y\right)\left(xy+1-x-y\right)$

         $=\left[\left(xy+x\right)+\left(y+1\right)\right].\left[\left(xy-x\right)-\left(y-1\right)\right]$

         $=\left[x\left(y+1\right)+\left(y+1\right)\right].\left[x\left(y-1\right)-\left(y-1\right)\right]$

         $=\left(y+1\right)\left(x+1\right)\left(y-1\right)\left(x-1\right)$.

Do đó $A=\left(y+1\right)\left(x+1\right)\left(y-1\right)\left(x-1\right)$.

Thay $x=2,y=2$ vào biểu thức $A$ ta được

$A=\left(2+1\right).\left(2+1\right).\left(2-1\right).\left(2-1\right)=\mathrm{3.3.1.1}=9$.

Vậy $A=9$ tại $x=2,y=2$.

Ta có $$B=xyz-\left(xy+yz+zx\right)+x+y+z-1$$

         $=xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1$

         $=\left[\left(xyz-xy\right)+\left(z-1\right)\right]+\left[\left(x+y\right)-\left(zx+yz\right)\right]$

         $=\left[xy\left(z-1\right)+\left(z-1\right)\right]+\left[\left(x+y\right)-z\left(x+y\right)\right]$

         $=\left(z-1\right)\left(xy+1\right)+\left(x+y\right)\left(1-z\right)$

         $=\left(z-1\right)\left(xy+1\right)-\left(x+y\right)\left(z-1\right)$

         $=\left(z-1\right)\left(xy+1-x-y\right)$

         $=\left(z-1\right)\left[\left(xy-x\right)-\left(y-1\right)\right]$

         $=\left(z-1\right)\left[x\left(y-1\right)-\left(y-1\right)\right]$

         $=\left(z-1\right)\left(y-1\right)\left(x-1\right)$.

Do đó $B=\left(z-1\right)\left(y-1\right)\left(x-1\right)$.

Thay $$x=9,y=10,z=11$$ vào biểu thức $B$ ta được

$B=\left(11-1\right).\left(10-1\right).\left(9-1\right)=\mathrm{10.9.8}=720$.

Vậy $B=720$ tại $$x=9,y=10,z=11$$.

Để đa thức $4x^6{y}^7-10x^5{y}^6+8x^4{y}^5$ chia hết cho đơn thức $-4x^m{y}^n$ thì mọi hạng tử của đa thức $4x^6{y}^7-10x^5{y}^6+8x^4{y}^5$ đều phải chia hết cho đơn thức $-4x^m{y}^n$, khi đó ta cần có:

Số mũ của $x$ và số mũ của $y$ trong $-4x^m{y}^n$ nhỏ hơn hoặc bằng số mũ của $x$ và số mũ của $y$ trong mọi hạng tử của $4x^6{y}^7-10x^5{y}^6+8x^4{y}^5$; tức là phải có $\{\begin{array}{l}m\le 6\\ m\le 5\\ m\le 4\\ n\le 7\\ n\le 6\\ n\le 5\end{array}$, khi đó ta tìm được $m\le 4$ và $n\le 5$, mà $m,n\in \mathbb{N}$, do đó $m\in \left\{0;1;2;3;4\right\}$ và $n\in \left\{0;1;2;3;4;5\right\}$.

Vậy $m\in \left\{0;1;2;3;4\right\}$ và $n\in \left\{0;1;2;3;4;5\right\}$ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.