Đề thi giữa kì 1 Toán 8 Kết nối tri thức – Đề 7 (có đáp án)

b) $$25{\left(x+3\right)}^2+\left(1-5x\right)\left(1+5x\right)=8$$

$25\left(x^2+6x+9\right)+\left[1^2-{\left(5x\right)}^2\right]=8$

$$25x^2+150x+225+1-25x^2=8$$

$$150x=-218$$

$x=-\frac{109}{75}.$

Vậy $x=-\frac{109}{75}.$

a) Do $ABCD$ là hình bình hành nên $AB=CD$ và $AB//CD$.

Lại có $$M,N$$ lần lượt là trung điểm của $$AB$$ và $$CD$$ nên $AM=BM=\frac{1}{2}AB$ và $DN=CN=\frac{1}{2}CD.$

Do đó $AM=BM=DN=CN$.

Tứ giác $DMBN$ có $BM//DN$ (do $AB//CD)$ và $BM=DN$ nên $DMBN$ là hình bình hành.

b) Xét tứ giác $AMND$ có $AM//DN$ (do $AB//CD)$ và $AM=DN$ nên $AMND$ là hình bình hành

Lại có $AB=2AD$ nên $AD=\frac{1}{2}AB$. Suy ra $AM=AD$.

Hình bình hành $AMND$ có $AM=AD$ nên $AMND$ là hình thoi.

Suy ra đường chéo $AN$ là đường phân giác của $\widehat{DAM}$ hay $\widehat{DAB}.$

c) Chứng minh tương tự câu a, ta cũng có tứ giác $AMCN$ là hình bình hành.

Suy ra $AN//CM$ hay $PN//QM$.

Do $DMBN$ là hình bình hành nên $DM//BN$ hay $PM//QN$.

Tứ giác $$PMQN$$ có $PN//QM$và $PM//QN$ nên $$PMQN$$ là hình bình hành.

Lại có $AMND$ là hình thoi nên $AN\perp DM$ hay $\widehat{MPN}=90^{\circ }$.

Do đó hình bình hành $$PMQN$$ là hình chữ nhật.

Để $$PMQN$$ là hình vuông thì $PM=PN\left(\ast \right)$

Mà $PM=\frac{1}{2}DM$ và $PN=\frac{1}{2}AN$ (do $AMND$ là hình thoi nên $P$ là trung điểm của hai đường chéo).

Do đó để $\left(\ast \right)$ xảy ra thì $DM=AN$ hay hình thoi $AMND$ là hình vuông, khi đó $\widehat{DAM}=90^{\circ }$.

Hình bình hành $ABCD$ có $\widehat{DAM}=90^{\circ }$ thì sẽ trở thành hình chữ nhật.

Do đó, để $$PMQN$$ là hình vuông thì $ABCD$ phải là hình chữ nhật.