Đề thi giữa kì 2 Toán 8 Cánh diều – Đề 10 (có đáp án)

a) Xét $\Delta ABC$ có $AD$ là tia phân giác của $\widehat{BAC},$ nên $\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}$ (tính chất đường phân giác), suy ra $\frac{AB}{DB}=\frac{AC}{DC}.$

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

$\frac{AB}{DB}=\frac{AC}{DC}=\frac{AB+AC}{DB+DC}=\frac{AB+AC}{BC}=\frac{6+9}{10}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}.$

Suy ra $DB=\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}\cdot 6=4\mathrm{cm},DC=\frac{2}{3}AC=\frac{2}{3}\cdot 9=6\mathrm{cm}.$

b) Từ $AE=\frac{1}{3}AB$ suy ra $\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}.$

Từ $AC=3AF$ suy ra $\frac{AF}{AC}=\frac{1}{3}.$

Do đó $\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}=\frac{1}{3}.$

Theo định lí Thalès đảo ta có $EF//BC.$

c) i) Xét $\Delta FBC$ có $IA//BC$ (do $d//BC)$ nên theo hệ quả định lí Thalès ta có: $\frac{FI}{FB}=\frac{AF}{FC}=\frac{IA}{BC}.\left(1\right)$

Xét $\Delta EBC$ có $AK//BC$ (do $d//BC)$ nên theo hệ quả định lí Thalès ta có: $\frac{EA}{EB}=\frac{AK}{BC}.\left(2\right)$

Xét $\Delta ABC$ có $EF//BC$ (câu b) theo hệ quả định lí Thalès ta có: $\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}=\frac{EF}{BC},$ suy ra $\frac{AE}{AE+AB}=\frac{AF}{AF+AC},$ hay $\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FC}.\left(3\right)$

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\frac{IA}{BC}=\frac{AK}{BC},$ do đó $AI=AK,$ hay $A$ là trung điểm của $IK.$

ii) Xét $\Delta EBC$ có $AK//BC$ (do $d//BC)$ nên theo hệ quả định lí Thalès ta có: $\frac{CK}{CE}=\frac{CA}{CF}.\left(4\right)$

Từ (1) và (4) ta có $\frac{FI}{FB}+\frac{CK}{CE}=\frac{AF}{FC}+\frac{CA}{CF}=\frac{FC}{FC}=1.$

Vậy $\frac{FI}{FB}+\frac{CK}{CE}=1.$