Đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức – Đề 01 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) Ta có $9-x^2=\left(3-x\right)\left(3+x\right).$

$$2-\frac{x+5}{3+x}=\frac{2\left(3+x\right)-\left(x+5\right)}{3+x}=\frac{6+2x-x-5}{3+x}=\frac{x+1}{x+3}.$$

Điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $\{\begin{array}{l}x+3\ne 0\\ x-3\ne 0\\ 9-x^2\ne 0\\ 2-\frac{x+5}{3+x}\ne 0\end{array}$ hay $\{\begin{array}{l}x+3\ne 0\\ x-3\ne 0\\ x+1\ne 0\end{array},$ tức là $\{\begin{array}{l}x\ne -3\\ x\ne 3\\ x\ne -1\end{array}.$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $x\ne -3,x\ne 3$ và $x\ne -1.$

b) Với $x\ne -3,x\ne 3$ và $x\ne -1$ ta có:

$A=\left(\frac{x}{x+3}-\frac{2}{x-3}+\frac{x^2-1}{9-x^2}\right):\left(2-\frac{x+5}{3+x}\right)$

$=\left[\frac{x}{x+3}-\frac{2}{x-3}-\frac{x^2-1}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\right]:\frac{x+1}{x+3}$

$=\frac{x\left(x-3\right)-2\left(x+3\right)-\left(x^2-1\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}:\frac{x+1}{x+3}$

$=\frac{x^2-3x-2x-6-x^2+1}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}.\frac{x+3}{x+1}$

$$=\frac{-5x-5}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}.\frac{x+3}{x+1}$$$$=\frac{-5\left(x+1\right)}{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}=\frac{-5}{x-3}.$$

Vậy với $x\ne -3,x\ne 3$ và $x\ne -1$ thì $A=\frac{-5}{x-3}.$

c) Với $x^2-x-2=0$ ta có $x^2-2x+x-2=0$

$x\left(x-2\right)+\left(x-2\right)=0$

$\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0$

Suy ra $x-2=0$ hoặc $x+1=0$

$x=2$ (thỏa mãn điều kiện) hoặc $x=-1$ (không thỏa mãn điều kiện)

Thay $x=2$ vào biểu thức $A=\frac{-5}{x-3}$ ta được: $A=\frac{-5}{2-3}=\frac{-5}{-1}=5.$

Vậy nếu $x^2-x-2=0$ thì $A=5.$

Hướng dẫn giải

Gọi quãng đường AB dài $x$ (km) $\left(x>0\right).$

Thời gian xe tải đi hết quãng đường AB là: $\frac{x}{30}$ (giờ).

$\frac{3}{4}$ quãng đường AB là $\frac{3}{4}x$ (km), khi đó thời gian ô tô con đi hết $\frac{3}{4}$ quãng đường AB là $$\frac{3}{4}x:45=\frac{x}{60}$$ (giờ).

Vận tốc xe con sau khi tăng thêm $5$ km/h là: $45+5=50$ (km/h).

Quãng đường còn lại là: $1-\frac{3x}{4}=\frac{x}{4}$ (km).

Thời gian xe con đi hết $\frac{1}{4}$ quãng đường AB là $\frac{x}{4}:50=\frac{x}{200}$ (giờ).

Vì xe con đến B sớm hơn xe tải là 2 giờ 27 phút $=\frac{49}{20}$ giờ nên ta có phương trình:

$\frac{x}{30}-\left(\frac{x}{60}+\frac{x}{200}\right)=\frac{49}{20}$

$\frac{20x}{600}-\frac{10x}{600}-\frac{3x}{600}=\frac{1470}{600}$

$\frac{7x}{600}=\frac{1470}{600}$

$7x=1470$

$x=210$ (thỏa mãn).

Vậy quãng đường AB dài $210$ km.

Hướng dẫn giải

Với $a,b,c\ne 0,$ ta có

$B=\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-abc\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)$

$=ab\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+bc\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+ca\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-\left(\frac{abc}{a^2}+\frac{abc}{b^2}+\frac{abc}{c^2}\right)$

$=b+a+\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+c+b+c+\frac{ca}{b}+a-\frac{bc}{a}-\frac{ac}{b}-\frac{ab}{c}$

$=2\left(a+b+c\right).$

Vậy $B=2\left(a+b+c\right).$