Đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức – Đề 02 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) Ta có $25x^2-1={\left(5x\right)}^2-1=\left(5x-1\right)\left(5x+1\right).$

Khi đó, biểu thức $A$ xác định khi và chỉ khi $2x-3\ne 0;$ $5x-1\ne 0;$ $5x+1\ne 0$ hay $x\ne \frac{3}{2};$ $x\ne \frac{1}{5};$ $x\ne -\frac{1}{5}.$

b) Với $x\ne \frac{3}{2};$ $x\ne \frac{1}{5};$ $x\ne -\frac{1}{5}$ ta có:

$A=\frac{5x+1}{2x-3}\cdot \frac{x+2}{25x^2-1}-\frac{8-3x}{25x^2-1}:\frac{2x-3}{5x+1}$

$=\frac{5x+1}{2x-3}\cdot \frac{x+2}{25x^2-1}-\frac{8-3x}{25x^2-1}\cdot \frac{5x+1}{2x-3}$

$=\frac{5x+1}{2x-3}\cdot \left(\frac{x+2}{25x^2-1}-\frac{8-3x}{25x^2-1}\right)$

$=\frac{5x+1}{2x-3}\cdot \left(\frac{x+2-8+3x}{25x^2-1}\right)$

$=\frac{5x+1}{2x-3}\cdot \frac{4x-6}{25x^2-1}$

$=\frac{\left(5x+1\right)\cdot 2\left(2x-3\right)}{\left(2x-3\right)\cdot \left(5x-1\right)\left(5x+1\right)}$$=\frac{2}{5x-1}.$

Do đó $A=\frac{2}{5x-1}.$

Từ $A\cdot B=\frac{x+2}{5x-1}$ suy ra $$B=\frac{x+2}{5x-1}:A=\frac{x+2}{5x-1}:\frac{2}{5x-1}=\frac{x+2}{5x-1}\cdot \frac{5x-1}{2}=\frac{x+2}{2}.$$

Vậy $B=\frac{x+2}{2}.$

c) Thay $x=\frac{3}{5}$ vào biểu thức $B=\frac{x+2}{2},$ ta được: $B=\frac{\frac{3}{5}+2}{2}=\frac{\frac{13}{5}}{2}=\frac{13}{10}.$

Vậy với $x=\frac{3}{5}$ thì $B=\frac{13}{10}.$

b) ${\left(x-3\right)}^3-2\left(x-1\right)=x{\left(x-2\right)}^2-5x^2$

$x^3-9x^2+27x-27-2x+2=x\left(x^2-4x+4\right)-5x^2$

$x^3-9x^2+25x-25=x^3-4x^2+4x-5x^2$

$21x=25$

$x=\frac{25}{21}$

Hướng dẫn giải

Đổi $20$phút $$=\frac{1}{3}$$ giờ.

Gọi quãng đường AB là $$x$$ (km) $\left(x>0\right).$

Thời gian đi từ A đến B là $\frac{x}{40}$ (giờ).

Lúc về người đó tăng vận tốc thêm $5$ km/h nên vận tốc lúc về của người đó là $$40+5=45$$ (km/h).

Thời gian đi từ B về A là $\frac{x}{45}$ (giờ).

Vì thời gian lúc về ít hơn thời gian lúc đi là $20$ phút $$(=\frac{1}{3}$$ giờ) nên ta có phương trình:

$\frac{x}{40}-\frac{x}{45}=\frac{1}{3}$

$\frac{9x}{360}-\frac{8x}{360}=\frac{120}{360}$

$9x-8x=120$

$x=120$ (thỏa mãn).

Vậy quãng đường AB là $120$ km.

Hướng dẫn giải

Với điều kiện phân thức có nghĩa, ta có:

$A=\frac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz}$

$=\frac{{\left(x+y\right)}^3-3xy\left(x+y\right)+z^3-3xyz}{x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz}$

$=\frac{{\left(x+y\right)}^3+z^3-3xy\left(x+y+z\right)}{x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz}$

$=\frac{{\left(x+y+z\right)}^3-3\left(x+y\right)z\left(x+y+z\right)-3xy\left(x+y+z\right)}{x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz}$

$$=\frac{\left(x+y+z\right)\left[{\left(x+y+z\right)}^2-3\left(x+y\right)z-3xy\right]}{x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz}$$

$$=\frac{\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx-3xz-3yz-3xy\right)}{x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz}$$

$$=\frac{\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)}{x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz}=x+y+z.$$