Đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức – Đề 03 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) Ta có $1-x^3=\left(1-x\right)\left(1+x+x^2\right);$

$$\frac{2x+1}{x^2+2x+1}=\frac{2x+1}{{\left(x+1\right)}^2}.$$

Khi đó biểu thức $P$ xác định khi và chỉ khi $\{\begin{array}{l}x-1\ne 0\\ 1-x^3\ne 0\\ x+1\ne 0\\ \frac{2x+1}{x^2+2x+1}\ne 0\end{array},$ tức là $\{\begin{array}{l}x\ne 1\\ 1-x\ne 0\\ 1+x+x^2\ne 0\\ x\ne -1\\ 2x+1\ne 0\\ {\left(x+1\right)}^2\ne 0\end{array}$ hay $\{\begin{array}{l}x\ne 1\\ x\ne -1\\ x\ne -\frac{1}{2}\end{array}.$

Vậy với $x\ne 1;x\ne -1$ và $x\ne -\frac{1}{2}$ thì biểu thức $P$ xác định.

b) Với $x\ne 1;x\ne -1$ và $x\ne -\frac{1}{2},$ ta có:

$$P=\left(\frac{1}{x-1}-\frac{x}{1-x^3}\cdot \frac{x^2+x+1}{x+1}\right):\frac{2x+1}{x^2+2x+1}$$

$$=\left[\frac{1}{x-1}-\frac{x}{\left(1-x\right)\left(1+x+x^2\right)}\cdot \frac{x^2+x+1}{x+1}\right]:\frac{2x+1}{{\left(x+1\right)}^2}$$

$$=\left[\frac{1}{x-1}-\frac{x}{\left(1-x\right)\left(x+1\right)}\right]\cdot \frac{{\left(x+1\right)}^2}{2x+1}$$

$$=\left[\frac{1}{x-1}+\frac{x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\right]\cdot \frac{{\left(x+1\right)}^2}{2x+1}$$

$$=\frac{\left(x+1\right)+x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\cdot \frac{{\left(x+1\right)}^2}{2x+1}$$

$$=\frac{\left(2x+1\right)\cdot {\left(x+1\right)}^2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\cdot \left(2x+1\right)}$$$$=\frac{x+1}{x-1}.$$

Vậy với $x\ne 1;x\ne -1$ và $x\ne -\frac{1}{2}$ thì $P=\frac{x+1}{x-1}.$

c) Thay $$x=\frac{1}{2}$$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $P=\frac{x+1}{x-1},$ ta được:

$P=\frac{\frac{1}{2}+1}{\frac{1}{2}-1}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}=3.$

Vậy $P=3$ khi $$x=\frac{1}{2}.$$

Gọi tuổi của Minh hiện nay là $x\left(x\in \mathbb{N}\right)$ thì tuổi của bố Minh hiện nay là 10x

Sau 24 năm nữa tuổi của Minh là x + 24

Sau 24 năm nữa tuổi của bố Minh là 10x + 24

Vì sau 24 năm nữa thì tuổi của bố chỉ gấp 2 lần tuổi của Minh nên ta có phương trình:

$10x+24=2\left(x+24\right)$

$10x+24=2x+48$

$10x-2x=48-24$

$8x=24$

  $x=3$ (thỏa mãn).

Vậy tuổi Minh hiện nay là 3 tuổi.

Hướng dẫn giải

Ta có $a_k=\frac{2k+1}{{\left(k^2+k\right)}^2}=\frac{2k+1}{{\left[k\left(k+1\right)\right]}^2}=\frac{{\left(k+1\right)}^2-k^2}{k^2\cdot {\left(k+1\right)}^2}=\frac{1}{k^2}-\frac{1}{{\left(k+1\right)}^2}.$

Do đó $$S_{2024}=a_1+a_2+a_3+\dots +a_{2024}$$

$$S_{2024}=\left(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}\right)+\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}\right)+\left(\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}\right)+...+\left(\frac{1}{{2023}^2}-\frac{1}{{2024}^2}\right)$$

$$=1-\frac{1}{{2024}^2}=\frac{{2024}^2-1}{{2024}^2}.$$