Đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức – Đề 06 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) Ta có $x^2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right).$

$x^2+x+1=x^2+2\cdot x\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}>0$ với mọi $x.$

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $x^2-4\ne 0,$ $x-1\ne 0$ hay $x-2\ne 0,$ $x+2\ne 0$ và $x-1\ne 0$, tức là $x\ne 2,x\ne -2$ và $x\ne 1.$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $x\ne 2,x\ne -2$ và $x\ne 1.$

b) Với $x\ne 2,x\ne -2$ và $x\ne 1,$ ta có:

$$A=\frac{x^3-1}{x^2-4}\cdot \left(\frac{1}{x-1}-\frac{x+1}{x^2+x+1}\right)$$

$=\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{x^2-4}\cdot \frac{1}{x-1}-\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{x^2-4}\cdot \frac{x+1}{x^2+x+1}$

$=\frac{x^2+x+1}{x^2-4}-\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x^2-4}$

$=\frac{x^2+x+1-\left(x^2-1\right)}{x^2-4}$$=\frac{x^2+x+1-x^2+1}{x^2-4}$

$$=\frac{x+2}{x^2-4}=\frac{x+2}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=\frac{1}{x-2}.$$

Vậy với $x\ne 2,x\ne -2$ và $x\ne 1,$ thì $A=\frac{1}{x-2}.$

c) Ta có $\left|x+3\right|=1$ suy ra $x+3=1$ hoặc $x+3=-1$

Do đó $x=-2$ (không thỏa mãn điều kiện) hoặc $x=-4$ (thỏa mãn điều kiện).

Thay $x=-4$ vào biểu thức $A=\frac{1}{x-2},$ ta được: $A=\frac{1}{-4-2}=-\frac{1}{6}.$

Vậy $A=-\frac{1}{6}$ khi $\left|x+3\right|=1.$

Hướng dẫn giải

Gọi số tấn thóc thu hoạch theo dự định là $x$ (tấn) $\left(x>0\right).$

Số ngày để thu hoạch hết số thóc theo dự định là $\frac{x}{20}$ (ngày).

Số tấn thóc thực tế thu hoạch được là $x+10$ (tấn).

Số tấn thóc thực tế mỗi ngày thu hoạch được là $20+6=26$ (tấn).

Số ngày thu hoạch hết số thóc theo thực tế là $\frac{x+10}{26}$ (ngày).

Vì hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày nên ta có phương trình:

$\frac{x}{20}-1=\frac{x+10}{26}$

$\frac{13x}{260}-\frac{260}{260}=\frac{10\left(x+10\right)}{260}$

$13x-260=10x+100$

$13x-10x=100+260$

$3x=360$

  $x=120$ (thỏa mãn).

Vậy số thóc theo dự định là 120 tấn.

Hướng dẫn giải

1)

Gọi $F$ là giao điểm của $AB$ và $ED.$

Quan sát đường đi của bạn An theo hình vẽ thì đó là tứ giác $BCDF,$ tứ giác này có $\hat{B}=\hat{C}=\hat{D}=90^{\circ }$ nên là hình chữ nhật.

Mà $CD=CB=300$ m nên hình chữ nhật $BCDF$ là hình vuông.

Do đó $BC=CD=DF=FB=300$ (m) và $\widehat{BFD}=90^{\circ }.$

Ta có $AF=AB+BF=900+300=1200$ (m); $EF=FD+DE=300+200=500$ (m).

Áp dụng định lí Pythagore cho $\Delta AEF$ vuông tại $F$ ta có:

$A{E}^2=A{F}^2+E{F}^2$$=1200^2+500^2=1690000.$

Suy ra $AE=\sqrt{1690000}=1300$ (m) $=1,3$ (km).

Thời gian đi hết quãng đường $AE$ là: $\frac{1,3}{13}=0,1$ (giờ) $=6$ (phút).

Vậy bạn An đi từ nhà đến trường (bằng xe đạp điện) là lúc $7$ giờ $6$ phút.

2)

a) Xét $\Delta ABE$ và $\Delta ADC$ có:

$\widehat{BAE}$ là góc chung;

$$\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AC}\left(\frac{8}{10}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}\right).$$

Do đó $\Delta ABE\backsim \Delta ADC$ (c.g.c).

b) Vì $\Delta ABE\backsim \Delta ADC$ (câu a) nên $\frac{AB}{AD}=\frac{BE}{DC}$

Suy ra $AB\cdot DC=AD\cdot BE.$

Do đó $DC=\frac{AD\cdot BE}{AB}=\frac{10\cdot 10}{8}=12,5\mathrm{cm}.$

c) Vì $\Delta ABE\backsim \Delta ADC$ (câu a) nên $\widehat{AEB}=\widehat{ACD}$ (hai góc tương ứng).

Xét $\Delta CBI$  và $\Delta EDI$ có:

$\widehat{BCI}=\widehat{DEI}$ (do $\widehat{AEB}=\widehat{ACD})$ và $\widehat{BIC}=\widehat{DIE}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó $\Delta CBI\backsim \Delta EDI$ (g.g).

Suy ra $\frac{IC}{IE}=\frac{IB}{ID}$ (tỉ số cạnh tương ứng) nên $$IB\cdot IE=ID\cdot IC.$$

Hướng dẫn giải

Điều kiện $a,b,c\ne 0.$

Với $$a+b+c=0,$$ ta có $a+b=-c;b+c=-a;c+a=-b.$

Ta có $C=\left(\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\left(\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}\right)$

$=\underset{M}{\underbrace{\left(\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\cdot \frac{c}{a-b}}}+\underset{N}{\underbrace{\left(\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\cdot \frac{a}{b-c}}}+\underset{P}{\underbrace{\left(\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\cdot \frac{b}{c-a}}}$

Xét $M=\left(\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\cdot \frac{c}{a-b}$

$=1+\frac{c}{a-b}\cdot \left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)$$=1+\frac{c}{a-b}\cdot \frac{b^2-bc+ac-a^2}{ab}$

$=1+\frac{c}{a-b}\cdot \frac{\left(b-a\right)\left(b+a\right)-c\left(b-a\right)}{ab}$$=1+\frac{c}{a-b}\cdot \frac{\left(b-a\right)\left(b+a-c\right)}{ab}$

$$=1+\frac{c}{a-b}\cdot \frac{-\left(a-b\right)\left(-c-c\right)}{ab}$$$$=1+\frac{c\cdot 2c}{ab}=1+\frac{2c^3}{abc}.$$

Tương tự, $N=1+\frac{2a^3}{abc};P=1+\frac{2b^3}{abc}.$

Khi đó $C=M+N+P=1+\frac{2c^3}{abc}+1+\frac{2a^3}{abc}+1+\frac{2b^3}{abc}=3+\frac{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}.$

Mặt khác, do $$a+b+c=0$$ nên ta có $${\left(a+b+c\right)}^3=0$$

Suy ra $${\left(a+b\right)}^3+c^3+3\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)=0$$

$$a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)+c^3+3\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)=0$$

$$a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(ab+ac+bc+c^2\right)=0$$

$$a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left[a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)\right]=0$$

$$a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)=0$$

$$a^3+b^3+c^3+3\left(-c\right)\left(-a\right)\left(-b\right)=0$$

$$a^3+b^3+c^3-3abc=0$$

$$a^3+b^3+c^3=3abc.$$

Vậy $C=3+\frac{2\cdot \left(3abc\right)}{abc}=3+6=9.$