Đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức – Đề 07 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $$x^2+x-6=x^2-2x+3x-6=x\left(x-2\right)+3\left(x-2\right)=\left(x-2\right)\left(x+3\right).$$

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $\{\begin{array}{l}x+3\ne 0\\ x^2+x-6\ne 0\\ 2-x\ne 0\end{array},$ hay $\{\begin{array}{l}x\ne -3\\ \left(x-2\right)\left(x+3\right)\ne 0\\ x\ne 2\end{array},$ tức là $x\ne -3$ và $x\ne 2.$

Vậy biểu thức $A$ xác định khi $x\ne -3$ và $x\ne 2.$

b) Với $x\ne -3$ và $x\ne 2,$ ta có:

$$A=\frac{x+2}{x+3}-\frac{5}{x^2+x-6}+\frac{1}{2-x}$$$$=\frac{x+2}{x+3}-\frac{5}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}-\frac{1}{x-2}$$

$$=\frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)-5-1\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}$$$$=\frac{x^2-4-5-x-3}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}$$

$$=\frac{x^2-x-12}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}=\frac{\left(x-4\right)\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}=\frac{x-4}{x-2}.$$

Vậy $x\ne -3$ và $x\ne 2,$ thì $$A=\frac{x-4}{x-2}.$$

Ta có: $$x^2-9=0$$

$$\left(x-3\right)\left(x+3\right)=0$$

$$x=3$$ (thoả mãn điều kiện) hoặc $$x=-3$$ (không thỏa mãn điều kiện)

Thay $$x=3$$ vào biểu thức $$A=\frac{x-4}{x-2},$$ ta được: $$A=\frac{3-4}{3-2}=\frac{-1}{1}=-1.$$

Vậy $$A=-1$$ khi $$x^2-9=0.$$

c) Với $x\ne -3$ và $x\ne 2,$ ta có: $$A=\frac{x-4}{x-2}=\frac{x-2-2}{x-2}=1-\frac{2}{x-2}.$$

Với $x$ là số nguyên, để $$A$$ cũng có giá trị nguyên thì $$x-2$$ là ước của $2.$

Mà Ư$\left(2\right)=\left\{-1;1;-2;2\right\}.$

Ta có bảng sau:

Theo bài, $$A$$ có giá trị là số nguyên dương lớn nhất nên $A=3.$

Vậy $x=1$ thì $$A$$ đạt giá trị nguyên dương lớn nhất là $A=3.$

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc của tàu hỏa thứ nhất là $x$ (km/h) $\left(x>0\right).$

Vận tốc của tàu hỏa thứ hai là $x-5$ (km/h).

Sau 4 giờ 48 phút $=4,8$ giờ thì tàu thứ nhất đi được quãng đường là: $4,8x$ (km).

Vì tàu hỏa thứ hai khởi hành sau tàu hỏa thứ nhất 1 giờ 48 phút $=1,8$ giờ nên thời gian tàu hỏa thứ hai đã đi là $4,8-1,8=3$ (giờ). Khi đó quãng đường tàu hỏa thứ hai đã đi là: $3\left(x-5\right)$ (km).

Vì ga Nam Định nằm trên đường từ Hà Nội đi TP Hồ Chí Minh và cách ga Hà Nội 87 km nên ta có phương trình:

$4,8x=3\left(x-5\right)+87$

$4,8x=3x-15+87$

$4,8x-3x=-15+87$

$1,8x=72$

$x=40$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của tàu hỏa thứ nhất là $40$ km/h, vận tốc của tàu hỏa thứ hai là $40-5=35$ km/h.

1) Hình vẽ bên mô tả bậc tam cấp.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ theo định lí Pythagore ta có: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$

Suy ra $A{C}^2=B{C}^2-A{B}^2=85^2-35^2=6000.$

Vậy bậc tam cấp nhà bạn Thanh phù hơp với quy định của khu phố.

2)

 

a) Do $ABCD$ là hình bình hành nên $AB//CD$ và $AD//BC.$

Xét $\Delta ADK$ có $AD//CN$ (do $AD//BC)$ nên $\Delta ADK\backsim \Delta CNK$ (g.g).

b) Xét $\Delta KAM$ có $AM//CD$ (do $AB//CD)$ nên $\Delta KAM\backsim \Delta KCD$ (g.g).

Mà $\Delta ADK\backsim \Delta CNK$ (câu a) nên $\frac{KD}{KN}=\frac{AK}{CK}$ (tỉ số cạnh tương ứng).

Suy ra $\frac{KD}{KN}=\frac{KM}{KD}$ nên $K{D}^2=KM\cdot KN.$

c) Do $\Delta ADK\backsim \Delta CNK$ nên $\frac{AK}{CK}=\frac{AD}{CN}$ (tỉ số cạnh tương ứng).

Do $\Delta KAM\backsim \Delta KCD$ nên $\frac{AK}{CK}=\frac{AM}{CD}$ (tỉ số cạnh tương ứng).

Suy ra $\frac{AD}{CN}=\frac{AM}{CD}$ hay $\frac{9}{CN}=\frac{6}{10},$ do đó $CN=\frac{9\cdot 10}{6}=15$ (cm).

Hướng dẫn giải

 Với $a\ne b\ne c\ne 0,$ từ $\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0,$ suy ra:

$\frac{a}{b-c}=\frac{b}{a-c}+\frac{c}{b-a}=\frac{b\left(b-a\right)}{\left(a-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{c\left(a-c\right)}{\left(a-c\right)\left(b-a\right)}=\frac{b^2-ab+ac-c^2}{\left(a-c\right)\left(b-a\right)}.$

Nhân hai vế với $\frac{1}{b-c}$ ta được:

$\frac{a}{{\left(b-c\right)}^2}=\frac{b^2-ab+ac-c^2}{\left(a-c\right)\left(b-a\right)\left(b-c\right)}=\frac{b^2-ab+ac-c^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}.$

Tương tư, ta có: $\frac{b}{{\left(c-a\right)}^2}=\frac{c^2-bc+ab-a^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)};\frac{c}{{\left(a-b\right)}^2}=\frac{a^2-ca+bc-b^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}.$

Cộng vế theo vế ba đẳng thức trên ta được:

$\frac{a}{{\left(b-c\right)}^2}+\frac{b}{{\left(c-a\right)}^2}+\frac{c}{{\left(a-b\right)}^2}$

$=\frac{b^2-ab+ac-c^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{c^2-bc+ab-a^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{a^2-ca+bc-b^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}$

$=\frac{0}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=0.$

Vậy $\frac{a}{{\left(b-c\right)}^2}+\frac{b}{{\left(c-a\right)}^2}+\frac{c}{{\left(a-b\right)}^2}=0.$