Đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức – Đề 08 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của biểu thức $M$ là $\{\begin{array}{l}{x}^2-2x\ne 0\\ x\ne 0\end{array},$ hay $\{\begin{array}{l}x\left(x-2\right)\ne 0\\ x\ne 0\end{array},$ tức là $\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x-2\ne 0\end{array}$ nên $\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x\ne 2\end{array}.$

b) Với $x\ne 0$ và $x\ne 2,$ ta có:

$$M=\frac{1}{x^2-2x}\cdot \left(\frac{x^2+4}{x}-4\right)+1=\frac{1}{x\left(x-2\right)}\cdot \left(\frac{x^2+4}{x}-\frac{4x}{x}\right)+1$$

$$=\frac{1}{x\left(x-2\right)}\cdot \frac{x^2+4-4x}{x}+1=\frac{1}{x\left(x-2\right)}\cdot \frac{{\left(x-2\right)}^2}{x}+1$$

$$=\frac{x-2}{x^2}+\frac{x^2}{x^2}=\frac{x^2+x-2}{x^2}.$$

Vậy với $x\ne 0$ và $x\ne 2,$ thì $M=\frac{x^2+x-2}{x^2}.$

Ta có $$\left|4-x\right|=2$$

Thay $$x=6$$ vào biểu thức $M=\frac{x^2+x-2}{x^2},$ ta được: $$M=\frac{6^2+6-2}{6^2}=\frac{36+6-2}{36}=\frac{10}{9}.$$

Vậy $M=\frac{10}{9}$ khi $$\left|4-x\right|=2.$$

c) Với $x\ne 0$ và $x\ne 2,$ ta có $$M=\frac{x^2+x-2}{x^2}=1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}.$$

Đặt $$\frac{1}{x}=t\left(t\ne 0;t\ne \frac{1}{2}\right),$$ khi đó:

$$M=1+t-2t^2=-2\left(t^2-\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}\right)=-2\left(t^2-2\cdot t\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{16}-\frac{1}{2}-\frac{1}{16}\right)$$

$$=-2\left[{\left(t-\frac{1}{4}\right)}^2-\frac{9}{16}\right]=\frac{9}{8}-2{\left(t-\frac{1}{4}\right)}^2.$$

Vì $${\left(t-\frac{1}{4}\right)}^2\ge 0$$ nên  $$-2{\left(t-\frac{1}{4}\right)}^2\le 0,$$ do đó $$P\le \frac{9}{8}.$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $$t-\frac{1}{4}=0,$$ tức là $$t=\frac{1}{4}$$ (thoả mãn).

Với $t=\frac{1}{4},$ ta có $$\frac{1}{x}=\frac{1}{4},$$ suy ra $$x=4.$$

Vậy giá trị lớn nhất của $$M$$ là $$\frac{9}{8}$$ khi $$x=4.$$

Hướng dẫn giải

Gọi nồng độ muối trong dung dịch I là $$x\left(\%\right)$$ $\left(x>0\right).$

Khi đó khối lượng muối có trong dung dịch I là: $200\cdot \frac{x}{100}=2x$ (g).

Do nồng độ muối trong dung dịch I lớn hơn nồng độ muối trong dung dịch II là 20% nên nồng độ muối trong dung dịch II là $x-20\left(\%\right).$

Khi đó khối lượng muối có trong dung dịch II là: $300\cdot \frac{x-20}{100}=3\left(x-20\right)$ (g).

Khối lượng muối trong dung dịch sau khi trộn hai dung dịch là: $2x+3\left(x-20\right)$ (g).

Khối lượng dung dịch muối sau khi trộn hai dung dịch là: $200+300=500$ (g).

Do sau khi trộn hai dung dịch I và II thì được một dung dịch có nồng độ muối là 33% nên ta có phương trình: $\frac{2x+3\left(x-20\right)}{500}\cdot 100\%=33\%$

$2x+3x-60=33\cdot 5$

$5x=225$

  $x=45$ (thỏa mãn).

Vậy nồng độ muối của dung dịch I và II lần lượt là $45\%$ và $25\%.$

Hướng dẫn giải

Ta có: $M=\frac{{\left(a-2\right)}^2}{\left(b-2\right)\left(c-2\right)}+\frac{{\left(b-2\right)}^2}{\left(a-2\right)\left(c-2\right)}+\frac{{\left(c-2\right)}^2}{\left(a-2\right)\left(b-2\right)}$

$=\frac{{\left(a-2\right)}^3+{\left(b-2\right)}^3+{\left(c-2\right)}^3}{\left(a-2\right)\left(b-2\right)\left(c-2\right)}$

Đặt $a-2=x;b-2=y;c-2=z.$

Khi đó $M=\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}.$

Mặt khác, từ $a+b+c=6$ suy ra $\left(a-2\right)+\left(b-2\right)+\left(c-2\right)=0$

Hay $x+y+z=0$

Suy ra $x+y=-z$

$${\left(x+y\right)}^3={\left(-z\right)}^3$$

$x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)=-z^3$

$x^3+y^3+3xy\left(-z\right)=-z^3$

$x^3+y^3+z^3=3xyz$

Do đó $M=\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}=\frac{3xyz}{xyz}=3.$

Vậy $M=3.$