Đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức – Đề 10 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) Ta có $1-x^2=-\left(x^2-1\right)=-\left(x-1\right)\left(x+1\right).$

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $\{\begin{array}{l}x-1\ne 0\\ x+1\ne 0\\ 1-x^2\ne 0\end{array}$ hay $\{\begin{array}{l}x-1\ne 0\\ x+1\ne 0\\ -\left(x-1\right)\left(x+1\right)\ne 0\end{array},$ tức là $\{\begin{array}{l}x\ne 1\\ x\ne -1\end{array}.$

Vậy để $B$ xác định thì $x\ne 1$ và $x\ne -1.$

b) Với $x\ne 1$ và $x\ne -1$ ta có:

$B=\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}+\frac{4}{1-x^2}$$=\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}-\frac{4}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$

  $=\frac{{\left(x+1\right)}^2-{\left(x-1\right)}^2-4}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$=\frac{\left(x^2+2x+1\right)-\left(x^2-2x+1\right)-4}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$

  $=\frac{4x-4}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$=\frac{4\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$=\frac{4}{x+1}$.

Vì vậy với $x\ne 1$ và $x\ne -1$ thì $B=\frac{4}{x+1}.$

Với $x=-\frac{1}{2}$ thoả mãn điều kiện xác định, thay vào biểu thức $B=\frac{4}{x+1},$ ta được:

$B=\frac{4}{-\frac{1}{2}+1}=\frac{4}{\frac{1}{2}}=8.$

Vậy với $x=-\frac{1}{2}$ thì $B=8.$

c) Với $x\ne 1$ và $x\ne -1$ thì $B=\frac{4}{x+1}.$

Với $x$ là số nguyên, để $B$ nhận giá trị nguyên thì $x+1$ là ước của $4.$

Mà Ư$\left(4\right)=\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}.$

Ta có bảng sau:

Do đó: $x\in \left\{-5;-3;-2;0;1;3\right\}.$

Mà $x\ne 1$ và $x\ne -1$ nên $x\in \left\{-5;-3;-2;0;3\right\}.$

Vậy để $B$ nhận giá trị nguyên thì $x\in \left\{-5;-3;-2;0;3\right\}.$

a) $2x-1-\left(4x-1\right)=x+6$

$2x-1-4x+1=x+6$

$2x-4x-x=6$

$-3x=6$

$x=-2$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=-2.$

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ là chữ số hàng chục của số cần tìm $(x\in \mathbb{N}$ và $0<x\le 9).$

Khi đó chữ số hàng đơn vị là: $12-x.$

Độ lớn số ban đầu là: $$10x+\left(12-x\right).$$

Khi đổi chỗ hai chữ số đó cho nhau thì số mới có chữ số hàng chục là: $12-x$ và chữ số hàng đơn vị là $x.$ Số mới có độ lớn là: $10\left(12-x\right)+x.$

Sau khi đổi chỗ thì số mới bé hơn số ban đầu là 18 đơn vị nên ta có phương trình:

$\left[10x+\left(12-x\right)\right]-\left[10\left(12-x\right)+x\right]=18$

$10x+12-x-120+10x-x=18$

$$10x-x+10x-x=18-12+120$$

$18x=126$

$x=7$ (thỏa mãn).

Khi số cần tìm có chữ số hàng chục là 7 và chữ số hàng đơn vị là $12-7=5.$

Vậy số cần tìm là: 75.

Hướng dẫn giải

Đặt $a-b=x,b-c=y,c-a=z.$ Khi đó $x+y+z=0.$

Ta có $S=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{c-a}+\frac{{\left(a-b\right)}^2+{\left(b-c\right)}^2+{\left(c-a\right)}^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}$

 $=\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}+\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}$

 $=\frac{2yz+2xz+2zy+x^2+y^2+z^2}{xyz}$

 $=\frac{{\left(x+y+z\right)}^2}{xyz}=\frac{0}{xyz}=0.$

Vậy $S=0.$