Đề thi cuối kì 2 Toán 8 Cánh diều cấu trúc mới – Đề 1 (có đáp án)

Ta có: $\frac{BD}{AD}=\frac{MB}{MA}$ do $MD$ là tia phân giác của $\widehat{AMB}$.

         $\frac{CE}{AE}=\frac{MC}{MA}$ do $ME$ là tia phân giác của $\widehat{AMC}.$

Mà $MB=MC$ ($M$ là trung điểm của $BC$)

Suy ra $\frac{BD}{AD}=\frac{CE}{AE}$, suy ra theo định lí Thalès đảo ta có $DE\parallel BC$.

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ACM$ lần lượt có $DI\parallel BM$ và $EI\parallel CM$.

Do đó, $\frac{DI}{BM}=\frac{EI}{CM}=\frac{AI}{AM}$.

Mà $BM=CM$ suy ra $DI=EI.$

Ta có: $\frac{BD}{AD}=\frac{MB}{MA}$ mà $\frac{BD}{AD}=\frac{MI}{AI}$ (do $DI\parallel BM$) suy ra $\frac{MI}{AI}=\frac{MB}{MA}$.

Lại có $\frac{MA}{AI}=\frac{MB}{DI}$ (do $DI\parallel BM$)

Do đó, $\frac{MB}{DI}=\frac{MI+IA}{AI}=1+\frac{MI}{AI}=1+\frac{MB}{AM}=\frac{AM+MB}{AM}$.

Suy ra $DI=\frac{BM.AM}{AM+BM}=\frac{15.10}{10+15}=\frac{150}{25}=6$.

Suy ra $ED=2DI=2.6=12$ (do $DI=IE=\frac{1}{2}DE$).

Các kết quả thuận lợi cho biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số lẻ”, đó là: $1;3;5;....;37;39.$

Do đó, có $20$ kết quả thuận lợi cho biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số lẻ”.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút là bình phương của một số” là:  $1;4;9;16;25;36$.

Do đó, có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố này.

Xác suất của biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút là bình phương của một số” là: $\frac{6}{40}=\frac{3}{20}.$

Kết quả thuận lợi của biến cố: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là lập phương của một số” là: $1;8;27.$

Do đó có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố này.

Vậy xác suất của biến cố này là $\frac{3}{40}=0,075.$

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc của tàu hỏa thứ nhất là $x\left(km/h\right)$ $\left(x>0\right)$.

Vận tốc của tàu hỏa thứ hai là $x-5\left(km/h\right)$.

Sau 4 giờ 48 phút = $4,8$ giờ thì tàu thứ nhất đi được quãng đường là $4,8x$ (km).

Vì tàu hỏa thứ hai khởi hành sau tàu hỏa thứ nhất 1 giờ 48 phút = $1,8$ giờ nên thời gian tàu hỏa thứ hai đã đi là $4,8-1,8=3$ (giờ).

Khi đó, quãng đường tàu hỏa thứ hai đã đi là $3\left(x-5\right)$ (km).

Vì ga Nam Định nằm trên đường từ Hà Nội đi TP. Hồ Chí Minh và cách ga Hà Nội $87\mathrm{km}$ nên ta có phương trình: $4,8x=3\left(x-5\right)+87$

$4,8x=3x-15+87$

$4,8x-3x=72$

$1,8x=72$

$x=40$ (thỏa mãn)

Vậy vận tốc của tàu hỏa thứ nhất là $40\left(km/h\right),$ vận tốc của tàu hỏa thứ hai là $40-5=35\left(km/h\right)$.

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HAC$, có: $\widehat{BAC}=\widehat{AHC}=90^{\circ }$ (gt) và $\widehat{ACB}=\widehat{HCA}$ (gt)

Do đó, $\text{ΔABC∽ΔHAC.}$ (g.g)

Xét $\Delta CHI$ và $\Delta CKB$, ta có:

$\widehat{CHI}=\widehat{CKB}=90^{\circ }$ (gt)

$\widehat{HCI}=\widehat{KCB}$

Do đó, (g.g)

Suy ra $\frac{CH}{CK}=\frac{CI}{CB}$.

Suy ra $CH.CB=CI.CK$.

Gọi $M$ là giao điểm của $BI$ và $DC$. Vì $I$ là trực tâm của $\Delta BDC$ nên $BI\perp DC$.

Xét $\Delta CMI$ và $\Delta CDK$, ta có: $\widehat{CMI}=\widehat{CKD}=90^{\circ }$ (gt) và $\widehat{MCI}=\widehat{DCK}$ (gt)

Suy ra (g.g)

Suy ra $\frac{CM}{CK}=\frac{CI}{CD}$ nên $CD.CM=CI.CK$.

Mà từ phần b) ta có: $CH.CB=CI.CK$ suy ra $CH.CB=CI.CK=CD.CM.$

Chứng minh được (g.g) suy ra $DK.DB=DM.DC$.

Do đó, $CH.CB+DK.DB=CM.CD+DM.DC=DC\left(MD+MC\right)=D{C}^2$.

Ta có: $2x{\left(8x-1\right)}^2\left(4x-1\right)=9$

           $8x{\left(8x-1\right)}^2\left(8x-2\right)=72$.

Đặt $y=8x-1,$ ta được: $\left(y+1\right)y^2\left(y-1\right)=72$

                                    $\left(y^2-9\right)\left(y^2+8\right)=0$

                                    $y^2-9=0$ (vì $y^2+8>0$)

Do đó, $y^2=9$ nên $y=3$ hoặc $y=-3$.

• Với $y=3$ thì $8x-1=3$ nên $8x=4$, suy ra $x=\frac{1}{2}.$

• Với $y=-3$ thì $8x-1=-3$ nên $8x=-2$, suy ra $x=-\frac{1}{4}.$

Vậy nghiệm của phương trình là $S=\left\{\frac{1}{2};-\frac{1}{4}\right\}.$

$\frac{2027-x}{73}+\frac{2025-x}{75}+\frac{2023-x}{77}+\frac{2021-x}{79}+4=0$

$\left(\frac{2027-x}{73}+1\right)+\left(\frac{2025-x}{75}+1\right)+\left(\frac{2023-x}{77}+1\right)+\left(\frac{2021-x}{79}+1\right)=0$

$\frac{2100-x}{73}+\frac{2100-x}{75}+\frac{2100-x}{77}+\frac{2100-x}{79}=0$

$\left(2100-x\right)\left(\frac{1}{73}+\frac{1}{75}+\frac{1}{77}+\frac{1}{79}\right)=0$

Vì $\frac{1}{73}+\frac{1}{75}+\frac{1}{77}+\frac{1}{79}\ne 0$ nên $2100-x=0$, suy ra $x=2100$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x=2100$.