Đề thi giữa kì 1 Toán 8 Cánh diều cấu trúc mới – Đề 4 (có đáp án)

Đáp án:               a) S.           b) S.           c) Đ.           d) S.

⦁ Đa thức $A$ có bậc là 3. Do đó ý a) sai.

⦁ Ta có $B=3y\left(3y-x\right)+\left(-2x^2{y}^2-6x{y}^3+4xy\right):\frac{2}{3}xy$

$$=3y\cdot 3y-3y\cdot x-2x^2{y}^2:\left(\frac{2}{3}xy\right)-6x{y}^3:\left(\frac{2}{3}xy\right)+4xy:\left(\frac{2}{3}xy\right)$$

$$=9y^2-3xy-3xy-9y^2+6$$

$$=\left(9y^2-9y^2\right)+\left(-3xy-3xy\right)+6$$

$$=-6xy+6=6\left(-xy+1\right).$$

Vì $6\left(-xy+1\right)⋮6$ với mọi giá trị nguyên của $x,y$ nên $B$ luôn chia hết cho 6 với mọi giá trị nguyên của biến $x,y.$ Do đó ý b) sai.

⦁ Thay $x=\frac{1}{2};$ $y=4$ vào biểu thức $A=-6xy+6$ đã thu gọn được ở câu a, ta được:

$A=-6\cdot \frac{1}{2}\cdot 4+6=-12+6=-6.$

Vậy $A=-6$ khi $x=\frac{1}{2};$ $y=4.$ Do đó ý c) sai.

⦁ Tổng của hai đa thức $A$ và $B$ là:

$$A+B=\left(x^{2}y+5xy-1\right)+\left(-6xy+6\right)$$

$$=x^{2}y+5xy-1-6xy+6$$

$$=x^{2}y+\left(5xy-6xy\right)+\left(6-1\right)$$

$$=x^{2}y-xy+5.$$

Như vậy, tổng của hai đa thức $A$ và $B$ có hạng tử tự do là 5. Do đó ý d) sai.

Đáp án:               a) Đúng.    b) Đúng.     c) Sai.        d) Sai.

⦁ Mặt đáy của hình chóp $S.ABC$ là một tam giác đều $ABC$ có cạnh $60\mathrm{cm}.$

Gọi đường cao của mặt đáy là $CH$ nên $CH$ đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đều $ABC.$

Do đó ý a) đúng.

⦁ Vì $HA=HB=\frac{AB}{2}=30\mathrm{cm}.$

Áp dụng định lý Pythagore vào $\Delta BHC$ vuông tại $H$, ta có:

$C{B}^2=H{B}^2+H{C}^2$ hay $60^2=30^2+H{C}^2$

Suy ra $C{H}^2=60^2-30^2=2700$ nên $CH=\sqrt{2700}=30\sqrt{3}\left(\mathrm{cm}\right)$.  (1)

Gọi $G$ là trọng tâm của mặt đáy nên $GH=\frac{1}{3}HC=\frac{30\sqrt{3}}{3}=10\sqrt{3}\left(\mathrm{cm}\right)$.

Hình chóp $S.ABC$ có đường cao $SG$ nên $SG\perp HC.$

Áp dụng định lý Pythagore vào $$\Delta SHG$$ vuông tại $G$, ta có:

$S{H}^2=S{G}^2+H{G}^2$$=90^2+30^2=9000$

Suy ra $SH=\sqrt{9000}=30\sqrt{10}\mathrm{cm}.$     (2)

Từ (1) và (2) suy ra độ dài cạnh $SH$ lớn hơn độ dài cạnh $CH$. Do đó ý c) sai.

⦁ Nửa chu vi đáy là: $P=\frac{1}{2}\left(60+60+60\right)=90\left(\mathrm{cm}\right)$

Vậy diện tích xung quanh của hình chóp $S.ABC$ là

$S=P.d=90.30\sqrt{10}\approx 8538\left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\right)$.

Do đó ý d) sai.

Ta có $A=\frac{4}{x^2+x+1}$ và $B=\frac{2}{1-x}+\frac{2x^2+4x}{x^3-1}$ với $x\ne 0,x\ne 1.$

a) Thay $x=-2$ (thỏa mãn) vào biểu thức $A$ ta được:

$$A=\frac{4}{{\left(-2\right)}^2+\left(-2\right)+1}=\frac{4}{4-2+1}=\frac{4}{3}.$$

b) Ta có $A=B+C$ nên $C=A-B$

$C=\frac{4}{x^2+x+1}-\left(\frac{2}{1-x}+\frac{2x^2+4x}{x^3-1}\right)$

$=\frac{4}{x^2+x+1}-\frac{2}{1-x}-\frac{2x^2+4x}{x^3-1}$

$=\frac{4}{x^2+x+1}+\frac{2}{x-1}-\frac{2x^2+4x}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$

$=\frac{4\left(x-1\right)+2\left(x^2+x+1\right)-\left(2x^2+4x\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$

$=\frac{4x-4+2x^2+2x+2-2x^2-4x}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$

$=\frac{2x-2}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$

$=\frac{2\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$$=\frac{2}{x^2+x+1}$

Vậy với $x\ne 1$ ta có $C=\frac{2}{x^2+x+1}.$

c) Với $x\ne 1$ ta có $$C=\frac{2}{x^2+x+1}=\frac{2}{x^2+2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=\frac{2}{{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}}$$.

Mà ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2\ge 0$ nên ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$, do đó $$C=\frac{2}{{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}}>0$$ với mọi $x\ne 1.$

1. Áp dụng định lí Pytthagore vào tam giác $ABH$ vuông tại $H$ ta có:

$A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2$

Suy ra $A{H}^2=A{B}^2-B{H}^2$

Do đó $AH=\sqrt{A{B}^2-B{H}^2}=\sqrt{{3,7}^2-{1,2}^2}=3,5\left(\mathrm{m}\right)$

Ta có $\frac{AH}{BH}=\frac{3,5}{1,2}\approx 2,9$.

Mà $2,9>2,2$ nên khoảng cách đặt thang cách chân tường là không an toàn.

2. Ta minh họa bảo tàng bằng hình chóp tứ giác sau:

$AB=3,7\mathrm{m}$ đặt cách một bức tường khoảng cách $$BH=1,2\mathrm{m}.$$ Biết rằng khoảng cách “an toàn” khi $2,0<\frac{AH}{BH}<2,2$ (xem hình vẽ). Tính chiều cao $$AH.$$ Từ đó kiểm tra xem khoảng cách đặt thang cách chân tường là $$BH$$ có “an toàn” không? (ảnh 3)">

Đường cao của hình chóp $SO$ vuông góc với mặt đáy $ABCD$ nên $SO\perp OH.$

Dễ thấy $OH=\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}.34=17\left(\mathrm{m}\right)$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác $SOH$ vuông tại $O$, ta có:

$S{H}^2=S{O}^2+O{H}^2$$=21^2+17^2=730$.

Suy ra $SH=\sqrt{730}\approx 27\left(\mathrm{m}\right)$.

Nửa chu vi mặt đáy là: $P=\frac{1}{2}\left(34+34+34+34\right)=68\left(\mathrm{m}\right)$

Tổng diện tích các tấm kính để phủ kín bốn mặt bên của bảo tàng hình chóp này là:

$S_{xq}=P\cdot d=68\cdot 27=1836\left({\mathrm{m}}^2\right)$.

Vậy tổng diện tích của các tấm kính để phủ kín bốn mặt bên của bảo tàng Louvre là $1836{\mathrm{m}}^2.$