Đề thi giữa kì 2 Toán 8 Chân trời sáng tạo (Tự luận) – Đề 2 (có đáp án)

5 câu · Đề giữa kì 2

Đề này đang được cập nhật đáp án; bạn vẫn xem được toàn bộ câu hỏi.

Câu 1

Đề gốc thiếu nội dung câu này, đang bổ sung

Câu này chưa tính điểm. Đáp án sẽ được cập nhật sớm.

Câu 2

Câu tự luận

Cho hàm số $y = (m - 1) x + m$ $(m$ là tham số $m \neq = 1)$ có đồ thị là đường thẳng $(d) .$

a) Tìm $m$ để $(d) : y = (m - 1) x + m$ song song với $(d^{'}) : y = 2 x - 3.$

b) Vẽ $(d)$ với $m$ tìm được và vẽ $(d^{'})$ trên cùng mặt phẳng tọa độ $O x y .$

c) Tìm $m$ để đường thẳng $(d) : y = (m - 1) x + m$ và hai đường thẳng $y = x + 2; y = \frac{1}{2} x + 3$ đồng quy.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Hướng dẫn giải

a) Với $m \neq = 1,$ để đường thẳng $(d) : y = (m - 1) x + m$ song song với đường thẳng $(d^{'}) : y = 2 x - 3$ thì $m - 1 = 2$ và $m \neq = - 3,$ tức là $m = 3$ (thỏa mãn $m \neq = 1, m \neq = - 3) .$

Vậy $m = 3.$

b) ⦁ Với $m = 3,$ ta có hàm số $y = 2 x + 3.$

Cho $x = 0,$ ta có $y = 3.$

Cho $x = - 1,$ ta có $y = 1.$

Đồ thị hàm số $y = 2 x + 3$ là đường thẳng $(d)$ đi qua hai điểm $(0; 3)$ và $(- 1; 1) .$

⦁ Xét hàm số $y = 2 x - 3.$

Cho $x = 0,$ ta có $y = - 3.$

Cho $x = 1,$ ta có $y = - 1.$

Đồ thị hàm số $y = 2 x - 3$ là đường thẳng $(d^{'})$ đi qua hai điểm $(0; - 3)$ và $(1; - 1) .$

Cho hàm số y = (m - 1)x + m (m là tham số m khác 1) có đồ thị là đường thẳng (d). a) Tìm m để (d):y = (m - 1)x + m song song với (d

c) Gọi $A (x_{A}; y_{A})$ là giao điểm của hai đường thẳng $y = x + 2; y = \frac{1}{2} x + 3.$

Vì $A$ thuộc đường thẳng $y = x + 2$ nên ta có $y_{A} = x_{A} + 2.$ Khi đó $A (x_{A}; x_{A} + 2) .$

Vì $A$ thuộc đường thẳng $y = \frac{1}{2} x + 3$ nên ta có $x_{A} + 2 = \frac{1}{2} x_{A} + 3,$ suy ra $\frac{1}{2} x_{A} = 1,$ do đó $x_{A} = 2.$

Từ đó ta có $y_{A} = x_{A} + 2 = 2 + 2 = 4.$

Vì vậy ta được $A (2; 4) .$

Để ba đường thẳng $y = x + 2; y = \frac{1}{2} x + 3$ và $(d) : y = (m - 1) x + m$ đồng quy thì đường thẳng $(d)$ phải đi qua giao điểm $A (2; 4)$ của hai đường thẳng $y = x + 2; y = \frac{1}{2} x + 3.$

Khi đó $x = 2, y = 4$ thỏa mãn hàm số $y = (m - 1) x + m,$ ta được:

$4 = (m - 1) \cdot 2 + m,$ suy ra $2 m - 2 + m = 4,$ do đó $3 m = 6,$ nên $m = 2$ (thỏa mãn $m \neq = 1) .$

Vậy $m = 2.$

Câu 3

Câu tự luận

Nhà may $A$ sản xuất một lô áo gồm 200 chiếc áo với giá vốn là $30000000$ đồng và giá bán một chiếc áo là $300000$ đồng. Khi đó gọi $K$ (đồng) là số tiền lời (hoặc lỗ) củ nhà may thu được khi bán $t$ chiếc áo.

a) Viết hàm số biểu diễn số tiền lời (hoặc lỗ) $K$ của nhà may thu được khi bán $t$ chiếc áo. Hỏi nhà may cần phải bán bao nhiêu chiếc áo mới có thể thu hồi được vốn ban đầu?

b) Để lời được $6000000$ đồng thì nhà may cần phải bán bao nhiêu chiếc áo?

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Hàm số biểu diễn số tiền lời (hoặc lỗ) $K$ của nhà may thu được khi bán $t$ chiếc áo là: $K = 300000 t - 30000000$ (đồng) (với $0 \leq t \leq 200) .$

Để nhà may thu hồi được vốn ban đầu thì $K = 0,$ ta thay vào công thức $K = 300000 t - 30000000,$ ta được:

$0 = 300000 t - 30000000,$ suy ra $t = 100.$

Vậy cần phải bán ra được 100 chiếc áo mới thu hồi được vốn ban đầu.

b) Để nhà may lời được $6000000$ thì $K = 6000000,$ thay vào công thức $K = 300000 t - 30000000,$ ta được:

$6000000 = 300000 t - 30000000,$ suy ra $t = 120.$

Vậy cần phải bán ra được 120 chiếc áo mới lời được 6 000 000 đồng.

Câu 4

Câu tự luận

Cho $Δ A B C$ có $A D$ là trung tuyến, trọng tâm $G,$ đường thẳng đi qua $G$ cắt các cạnh $A B, A C$ lần l $B, C$ ượt tại $E, F .$ Từ kẻ các đường song song với $E F$ cắt $A D$ lần lượt tại $M, N .$ Chứng minh rằng:

a) $\frac{B E}{A E} = \frac{M G}{A G} .$ b) $\frac{B E}{A E} + \frac{C F}{A F} = 1.$ c) $\frac{A B}{A E} + \frac{A C}{A F} = 3.$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Xét $Δ A B M$ có $E G // B M,$ theo định lí Thalès ta có: $\frac{B E}{A E} = \frac{M G}{A G} .$

b) Xét $Δ D C N$ có $B M // C N,$ theo định lí Thalès ta có: $\frac{D N}{M D} = \frac{D C}{D B} .$

Mà $D$ là trung điểm của $B C$ (do $A D$ là trung tuyến của tam giác) nên $D C = D B .$

Do đó $\frac{D N}{M D} = \frac{D C}{D B} = 1,$ nên $D M = D N .$

Cho tam giác ABC có AD là trung tuyến , trọng tâm G, đường thẳng đi qua G cắt các cạnh AB , AC (ảnh 1)

Suy ra $GM + GN = GM + GM + M N = 2 GM + 2 M D = 2 G D .$

Lại có $G$ là trọng tâm $Δ A B C$ nên $A G = 2 G D .$

Xét $Δ A C N$ có $F G // C N,$ theo định lí Thalès ta có: $\frac{C F}{A F} = \frac{GN}{A G} .$

Suy ra $\frac{B E}{A E} + \frac{C F}{A F} = \frac{M G}{A G} + \frac{GN}{A G} = \frac{GM + GN}{A G} = \frac{2 G D}{2 G D} = 1.$

c) Xét $Δ A B M$ có $E G // B M,$ theo định lí Thalès ta có: $\frac{A B}{A E} = \frac{A M}{A G} .$

Xét $Δ A C N$ có $F G // C N,$ theo định lí Thalès ta có: $\frac{A C}{A F} = \frac{A N}{A G} .$

Suy ra $\frac{A B}{A E} + \frac{A C}{A F} = \frac{A M}{A G} + \frac{A N}{A G}$ $= \frac{A G + GM + A G + GM + M N}{A G}$

$= \frac{2 A G + 2 GM + 2 M D}{A G}$ $= \frac{2 A G + 2 ( GM + M D )}{A G} = \frac{2 A G + 2 G D}{A G}$

$= \frac{2 A G + 2 \cdot \frac{1}{2} A G}{A G} = \frac{3 A G}{A G} = 3.$

Vậy $\frac{A B}{A E} + \frac{A C}{A F} = 3.$

Câu 5

Câu tự luận

Lúc 6 giờ sáng, bạn Hải đi xe đạp từ điểm $A$ đến trường (tại điểm $B)$ phải leo lên và xuống một con dốc với đỉnh dốc tại điểm $C$ (như hình vẽ).

Lúc 6 giờ sáng, bạn Hải đi xe đạp từ điểm <span class=

A

đến trường (tại điểm

B)

phải leo lên và xuống một con (ảnh 1)">

Điểm

H

là một điểm thuộc đoạn thẳng

A B

sao cho

C H

đường là phân giác

A C B,

A H = 0, 32 km

và

B H = 0, 4 km .

Biết bạn Hải đi xe đạp đến

C

lúc 6 giờ 30 phút với tốc độ trung bình lên dốc là 4 km/h. Hỏi bạn Hải đến trường lúc mấy giờ nếu tốc độ trung bình xuống dốc là

10 km/h ?

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

A

đến trường (tại điểm

B)

phải leo lên và xuống một con (ảnh 2)">

Thời gian để bạn Hải đi từ $A$ đến $C$ là: $6$ giờ $30$ phút $- 6$ giờ $= 30$ phút $= 0, 5$ giờ.

Quãng đường mà bạn Hải đi từ $A$ đến $C$ trong $0, 5$ giờ với tốc độ trung bình lên dốc 4 km/h là: $A C = S_{A \to C} = 4 \cdot 0, 5 = 2$ (km).

Xét $Δ A C B$ có $C H$ là đường phân giác của $A C B,$ nên ta có: $\frac{H A}{H B} = \frac{C A}{C B}$ hay $\frac{0 , 32}{0 , 4} = \frac{2}{C B}$ Suy ra $C B = \frac{0 , 4 \cdot 2}{0 , 32} = 2, 5$ (km).

Thời gian để bạn Hải đi hết quãng đường $2, 5$ km với tốc độ trung bình xuống dốc 10 km/h là: $\frac{2 , 5}{10} = 0, 25$ (giờ).

Như vậy, tổng thời gian bạn Hải đi từ $A$ đến trường $B$ là

$0, 5 + 0, 25 = 0, 75$ (giờ) $= 45$ (phút).