Đề kiểm tra Giữa kì 2 Toán 8 KNTT có đáp án (Đề 1)

a) Ta có:

⦁ $x^2-2x=x\left(x-2\right).$

⦁ $\frac{x+2}{x}-\frac{x}{x-2}=\frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{x\left(x-2\right)}-\frac{x^2}{x\left(x-2\right)}=\frac{x^2-4-x^2}{x\left(x-2\right)}=\frac{-4}{x\left(x-2\right)}.$

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức P là $\left(\begin{array}{c}{x}^2-2x\ne 0\\ x-2\ne 0\\ \frac{x+2}{x}-\frac{x}{x-2}\ne 0\end{array}\right),$ hay $\left(\begin{array}{c}x\left(x-2\right)\ne 0\\ x\ne 2\\ \frac{-4}{x\left(x-2\right)}\ne 0\end{array}\right),$ tức là $\left(\begin{array}{c}x\ne 0\\ x\ne 2\end{array}\right).$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức P là $x\ne 0$ và $x\ne 2$

Với $x\ne 0$ và $x\ne 2$ ta có:

$D=\left(\frac{x-4}{x^2-2x}+\frac{2}{x-2}\right):\left(\frac{x+2}{x}-\frac{x}{x-2}\right)$

$=\left(\frac{x-4}{x\left(x-2\right)}+\frac{2x}{x\left(x-2\right)}\right):\frac{-4}{x\left(x-2\right)}$

$=\frac{\left(x-4\right)+2x}{x\left(x-2\right)}\cdot \frac{x\left(x-2\right)}{-4}=\frac{-3x+4}{4}.$

 

Vì vậy, với $x\ne 0$ và $x\ne 2$ thì $D=\frac{-3x+4}{4}.$

Khi đó $D>0$ tức là $\frac{-3x+4}{4}>\mathrm{0,}$ do đó $-3x+4>0$ vì 4 > 0.

Suy ra $3x<\mathrm{4,}$ nên $x<\frac{4}{3}.$

Kết hợp với điều kiện $x\ne 0$ và $x\ne 2$ ta được $x<\frac{4}{3}$ và $x\ne 0.$

Vậy với $x<\frac{4}{3}$ và $x\ne 0$ thì D > 0.

b) $\frac{1}{3}\left(x-1\right)+4=\frac{1}{2}\left(x+5\right)$

$2\left(x-1\right)+24=3\left(x+5\right)$

$2x-2+24=3x+15$

$2x-3x=15+2-24$

$-x=-7$

$x=7$

Gọi tuổi của Minh hiện nay là $x\left(x\in \mathbb{N}\right)$ thì tuổi của bố Minh hiện nay là 10x

Sau 24 năm nữa tuổi của Minh là x + 24

Sau 24 năm nữa tuổi của bố Minh là 10x + 24

Vì sau 24 năm nữa thì tuổi của bố chỉ gấp 2 lần tuổi của Minh nên ta có phương trình:

$10x+24=2\left(x+24\right)$

$10x+24=2x+48$

$10x-2x=48-24$

$8x=24$

  $x=3$ (thỏa mãn).

Vậy tuổi Minh hiện nay là 3 tuổi.

Áp dụng định lí Pythagore cho các tam giác vuông $AMO,ONC,OMD,OBE,$ ta tính được:

⦁ $O{A}^2=3^2+4^2=25$ hay $OA=5\text{ m;}$

⦁ $O{C}^2=6^2+8^2=100$ hay $OC=10\text{ m};$

⦁ $O{D}^2=3^2+8^2=73$ hay $OD=\sqrt{73}\text{ m};$

⦁ $O{B}^2=4^2+6^2=52$ hay $OB=\sqrt{52}\text{ m.}$

Vì $OA=5\text{ m}<9\text{ m},OD=\sqrt{73}\text{ m}<9\text{ m},OB=\sqrt{52}\text{ m}<9\text{ m},OC=10\text{ m}>9\text{ m,}$ nên chú cún có thể đến các vị trí $A,D,B$ nhưng không thể đến được vị trí C.

a) Ta có ABCD là hình bình hành nên $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$ (1) (tính chất hình bình hành)

Mà $\widehat{HBC}=180°-\widehat{ABC}$ (2) (hai góc kề bù)

    $\widehat{KDC}=180°-\widehat{ADC}$   (3) (hai góc kề bù)

Từ (1),(2), (3) suy ra $\widehat{HBC}=\widehat{KDC}.$

Xét $\Delta CHB$ và $\Delta CKD$ có:

$\widehat{BHC}=\widehat{DKC}=90°$ và $\widehat{HBC}=\widehat{KDC}$

Do đó $\Delta CHB\backsim \Delta CKD$ (g.g).

Suy ra $\frac{CH}{CK}=\frac{CB}{CD}$ (tỉ số cạnh tương ứng), hay $\frac{CH}{CB}=\frac{CK}{CD}$ (tính chất tỉ lệ thức).

Ta có $\widehat{ABC}$ là góc ngoài của $\Delta BHC$ nên $\widehat{ABC}=\widehat{BHC}+\widehat{BCH}=90°+\widehat{BCH}$(4)

Vì ABCD là hình bình hành nên $BC\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}AD$ và $AB=CD$ (tính chất hình bình hành)

Mà $CK\perp AD$ nên $CK\perp BC$ nên $\widehat{BCK}=90°.$

Do đó $\widehat{KCH}=\widehat{BCK}+\widehat{BCH}=90°+\widehat{BCH}$ (5)

Từ (4) và (5) suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{KCH}.$

Theo câu a, $\frac{CH}{CB}=\frac{CK}{CD}$ mà $AB=CD$ nên $\frac{CH}{CB}=\frac{CK}{BA}.$

Xét $\Delta CHK$ và $\Delta BCA$ có: $\widehat{KCH}=\widehat{ABC}$ và $\frac{CH}{CB}=\frac{CK}{BA}$

Do đó $\Delta CHK\backsim \Delta BCA$ (c.g.c).

Kẻ $BE\perp AC$ tại E, $\left(E\in AC\right).$

Xét $\Delta AEB$ và $\Delta AHC$ có: $\widehat{AEB}=\widehat{AHC}=90°$ và $\widehat{HAC}$ là góc chung.

Do đó $\Delta AEB\backsim \Delta AHC$ (g.g).

Suy ra $\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AH}$ (tỉ số cạnh tương ứng) nên $AB\cdot AH=AC\cdot AE$ (6)

Xét $\Delta BCE$ và $\Delta CAK$ có:

$\widehat{BEC}=\widehat{CKA}=90°$ và $\widehat{BCE}=\widehat{CAK}$ (hai góc so le trong, $BC\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}DA)$

Do đó $\Delta BCE\backsim \Delta CAK$ (g.g).

Suy ra $\frac{BC}{CA}=\frac{CE}{AK}$ (tỉ số cạnh tương ứng) nên $BC\cdot AK=AC\cdot CE$

Mà $BC=AD$ nên $AD\cdot AK=AC\cdot CE$ (7) 

Từ (6) và (7) suy ra: $AB\cdot AH+AD\cdot AK=AC\cdot AE+AC\cdot CE$

Hay $AB\cdot AH+AD\cdot AK=AC\left(AE+CE\right)=A{C}^2.$

Do ABCD là hình bình hành nên $AB\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}CD;AD\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}BC$ (tính chất hình bình hành)

Hay $AM\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}CD;AD\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}NC.$

Vì $AD\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}NC$ nên $\Delta INC\backsim \Delta IDA,$ do đó $\frac{IN}{ID}=\frac{IC}{IA}$ (tỉ số cạnh tương ứng) (8)

Vì $AM\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}DC$ nên $\Delta IDC\backsim \Delta IMA,$ do đó $\frac{ID}{IM}=\frac{IC}{IA}$ (tỉ số cạnh tương ứng) (9)

Từ (8) và (9) suy ra $\frac{IN}{ID}=\frac{ID}{IM},$ nên $IM\cdot IN=I{D}^2.$

Ta có $a_k=\frac{2k+1}{{\left(k^2+k\right)}^2}=\frac{2k+1}{{\left[k\left(k+1\right)\right]}^2}=\frac{{\left(k+1\right)}^2-k^2}{k^2\cdot {\left(k+1\right)}^2}=\frac{1}{k^2}-\frac{1}{{\left(k+1\right)}^2}.$

Do đó $S_{2024}=a_1+a_2+a_3+\dots +a_{2024}$

$S_{2024}=\left(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}\right)+\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}\right)+\left(\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}\right)+\mathrm{...}+\left(\frac{1}{{2023}^2}-\frac{1}{{2024}^2}\right)$

$=1-\frac{1}{{2024}^2}=\frac{{2024}^2-1}{{2024}^2}.$