Đề ôn thi Đánh giá năng lực Đại học Sư phạm Hà Nội môn Toán có đáp án - Đề số 1

25 câu · Luyện từng phần ĐGNL ĐH Sư phạm Hà Nội

3/25 câu đang cập nhật đáp án (ghi rõ ở từng câu), chưa tính điểm; điểm tính trên 22 câu còn lại.

Câu 1

Phần I (4 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 16. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ chọn một phương án. Đối với mỗi câu trả lời đúng, thí sinh được 0,25 điểm.

Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm

f^{'} (x) = (x - 2) (x + 1), \forall x \in R

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 2

Tập nghiệm của bất phương trình

lo g_{3} (x^{2} + 2) \leq 3

là

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 3

Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

f (x) = \frac{2 x ^{2} - 3 x + 1}{x + 1}

có phương trình là:

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 4

Một người thống kê lại thời gian thực hiện các cuộc gọi điện thoại của người đó trong một tuần ở bảng sau:

Thời gian

(đơn vị: giây)

$[0; 60)$

$[60; 120)$

$[120; 180)$

$[180; 240)$

$[240; 300)$

$[300; 360)$

Số cuộc gọi

$9$

$5$

$7$

$2$

$1$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng:

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 5

Nếu

- 1 \int 2 f (x) d x = 5

thì

- 1 \int 2 4 f (x) d x

bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 6

Cho cấp số nhân

(u_{n})

có số hạng đầu

u_{1} = 7

và công bội

q = 3

. Khi đó số hạng thứ hai của cấp số nhân đã cho là:

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 7

Cho

A, B

là hai biến cố độc lập với

P (A) = 0, 2024; P (B) = 0, 2025

. Kết quả

P (B ∣ A)

bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 8

Cho hình tứ diện $A B C D$ . Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $B C D$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 9

Trong không gian

O x y z

, cho mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8 x + 2 y + 1 = 0

. Tọa độ tâm và bán kính mặt cầu

(S)

lần lượt là

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 10

Khi cắt một vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục

O x

tại điểm có hoành độ

x

(- 3 \leq x \leq 3)

, mặt cắt là hình vuông có độ dài các cạnh là

3 - x^{2}

. Thể tích của vật thể đã cho bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 11

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình?

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình? (ảnh 1)

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 12

Tất cả các nghiệm của phương trình

2 cos (x + \frac{π}{4}) - 2 = 0

là

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 13

Trong không gian

O x y z

, mặt phẳng nào dưới đây có vectơ pháp tuyến

n = (1; - 2; 3)

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 14

Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$ . Cạnh bên $S C$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$ , $S C = a$ . Thể tích khối chóp $S . A B C$ bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 15

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = e^{x},

trục hoành và hai đường thẳng

x = 0

và

x = 3

bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 16

Một hộp đựng

6

bi xanh đánh số từ

1

đến

6

7

bi vàng đánh số từ

1

đến

7

và

8

bi đỏ đánh số từ

1

đến

8

. Lấy ngẫu nhiên

3

bi từ hộp. Xác suất để ba bi lấy được có

3

số khác nhau và khác màu là

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 17

Phần II (2 điểm). Thí sinh trả lời câu 1, câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$

a)
Đạo hàm của hàm số đã cho là $y^{'} = 3 x^{2} - 6 x$ .
b)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(0; 2)$ và nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; 0) \cup (2; + \infty)$ .
c)
Bảng biến thiên của hàm số đã cho là:
d)
Đồ thị hàm số đã cho như ở hình dưới.

Đáp án và lời giải

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng

Câu 18

Trong không gian với hệ tọa độ

O x y z,

cho đường thẳng

Δ : \frac{x - 2}{5} = \frac{y - 1}{12} = \frac{z - 6}{- 13}

và mặt phẳng

(P) : x - 2 y - 2 z - 2026 = 0

a)
Vectơ có tọa độ $(2; 1; 6)$ là một vectơ chỉ phương của $Δ.$
b)
Vectơ có tọa độ $(1; - 2; - 2)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P) .$
c)
Côsin của góc giữa hai vectơ $u = (5; 12; - 13)$ và $n = (1; - 2; - 2)$ bằng $\frac{7}{39 2}$ .
d)
Góc giữa đường thẳng $Δ$ và mặt phẳng $(P)$ (làm tròn đến hàng đơn vị của độ) bằng $8 3^{\circ}$ .

Đáp án và lời giải

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai

Câu 19

Phần III (1 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày suy luận. Đối với mỗi câu trả lời đúng, thí sinh được 0,25 điểm.

Giả sử doanh số của một sản phẩm mới tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số $f (t) = \frac{5 000}{1 + 5 e ^{- t}}, t \geq 0$ , trong đó thời gian $t$ được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm $f^{'} (t)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?

____

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 20

Một hộp đựng 8 thẻ được đánh số từ 2 đến 9. Bạn Lê lấy ngẫu nhiên một thẻ, ghi lại số trên thẻ rồi bỏ thẻ vào hộp. Lần thứ hai, bạn Lê cũng lấy ngẫu nhiên một thẻ, ghi lại số trên thẻ rồi bỏ thẻ vào hộp. Tiếp tục như vậy, sau năm lần bạn Lê đã ghi lại được 5 số. Tính xác suất để trong 5 số ghi được có đúng 2 số chia hết cho 4.

________

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 21

Tại một nút giao thông có hai con đường khác mức. Trên thiết kế, trong không gian $O x y z$ hai con đường đó thuộc hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{- 1}$ ; $d_{2} : \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{- 3}$ . Người ta muốn tạo một con đường $Δ$ cắt $d_{1}, d_{2}$ lần lượt tại $A$ và $B$ sao cho $A B$ nhỏ nhất. Tính độ dài $A B$ .

__________

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 22

Trong một kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông, một tỉnh X có 80% học sinh lựa chọn tổ hợp A00 (gồm các môn Toán, Vật lí, Hoá học). Biết rằng, nếu một học sinh chọn tổ hợp A00 thì xác suất để học sinh đó đỗ đại học là 0,6; còn nếu một học sinh không chọn tổ hợp A00 thì xác suất để học sinh đó đỗ đại học là 0,7. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của tỉnh X đã tốt nghiệp trung học phổ thông trong kì thi trên. Biết rằng học sinh này đã đỗ đại học, tính xác suất để học sinh đó chọn tổ hợp A00.

______

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 23

Câu tự luận

Phần IV (3 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 5 đến câu 7. Đối với mỗi câu, thí sinh viết quá trình và kết quả suy luận.

(1 điểm). Giải phương trình: $4^{x^{2} - 3 x + 2} + 4^{2 x^{2} + 6 x + 5} = 4^{3 x^{2} + 3 x + 7} + 1$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Ta có $4^{x^{2} - 3 x + 2} + 4^{2 x^{2} + 6 x + 5} = 4^{3 x^{2} + 3 x + 7} + 1$

$\Leftrightarrow 4^{x^{2} - 3 x + 2} + 4^{2 x^{2} + 6 x + 5} = 4^{x^{2} - 3 x + 2} \cdot 4^{2 x^{2} + 6 x + 5} + 1$

$\Leftrightarrow 4^{x^{2} - 3 x + 2} - 1 + 4^{2 x^{2} + 6 x + 5} - 4^{x^{2} - 3 x + 2} \cdot 4^{2 x^{2} + 6 x + 5} = 0$

$\Leftrightarrow (4^{x^{2} - 3 x + 2} - 1) (1 - 4^{2 x^{2} + 6 x + 5}) = 0$ .

Trường hợp 1: $4^{x^{2} - 3 x + 2} = 1 \Leftrightarrow x^{2} - 3 x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 2$ .

Trường hợp 2: $4^{2 x^{2} + 6 x + 5} = 1 \Leftrightarrow 2 x^{2} + 6 x + 5 = 0$ , phương trình này vô nghiệm.

Vậy, phương trình cho có $2$ nghiệm $x = 1,$ $x = 2$ .

Câu 24

Câu tự luận

(1 điểm). Cho hình lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy là tam giác vuông tại $A$ , $A B = a, A C = a 3$ . Gọi $M$ là trung điểm của $C C^{'}$ . Biết góc giữa mặt phẳng $(A^{'} B^{'} M)$ và mặt phẳng đáy bằng $3 0^{\circ}$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A B$ và $B^{'} M$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

ho hình lăng trụ đứng <span class= $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy là ta (ảnh 1)">

Ta có $A^{'} B^{'} ⊥ (A C C^{'} A^{'}) \Rightarrow A^{'} B^{'} ⊥ A^{'} M$ , mà $A^{'} B^{'} ⊥ A^{'} C^{'} \Rightarrow$ Góc giữa mặt phẳng $(A^{'} B^{'} M)$ và mặt phẳng đáy $(A^{'} B^{'} C^{'})$ bằng $M A^{'} C^{'} = 3 0^{\circ}$ .

Vì $A B // A^{'} B^{'} \Rightarrow d (A B, B^{'} M) = d (A B, (A^{'} B^{'} M)) = d (A, (A^{'} B^{'} M))$ .

Ta có $M C^{'} = A^{'} C^{'} \cdot tan 3 0^{\circ} = a 3 \cdot \frac{1}{3} = a \Rightarrow C C^{'} = 2 a$ .

Kẻ $A K ⊥ A^{'} M$ $(K \in A^{'} M)$ (1).

Vì $A^{'} B^{'} ⊥ (A C C^{'} A^{'}) \Rightarrow A^{'} B^{'} ⊥ A K$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $A K ⊥ (A^{'} B^{'} M) \Rightarrow d (A B, B^{'} M) = d (A, (A^{'} B^{'} M)) = A K$ .

Ta có $A^{'} M = a^{2} + 3 a^{2} = 2 a$ và .

Vậy $d (A B, B^{'} M) = d (A, (A^{'} B^{'} M)) = A K = a 3$ .

Câu 25

Câu tự luận

(1 điểm). Một cái bình cổ có hình dạng như Hình a. Giả sử mô hình toán mô phỏng việc tạo thành cái bình cổ đó bằng cách xoay phần diện tích (gạch sọc) được giới hạn bởi đường cong $f (x) = x^{2} - 8 x + 12$ và $g (x) = - x + 6$ quanh trục $O x$ như Hình b. Hãy tính thể tích của cái bình cổ đó.

Một cái bình cổ có hình dạng như Hình a. Giả sử mô hình toán mô phỏng việc tạo thành cái bình cổ đó bằng cách xoay phần diện tích (gạch sọc) được giới hạn bởi đường cong (ảnh 1)

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Một cái bình cổ có hình dạng như Hình a. Giả sử mô hình toán mô phỏng việc tạo thành cái bình cổ đó bằng cách xoay phần diện tích (gạch sọc) được giới hạn bởi đường cong (ảnh 2)

Xét đồ thị hàm số $y = h (x) = - f (x)$ có đồ thị là đường nét đứt đoạn như hình vẽ trên.

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $g (x)$ và $h (x)$ là nghiệm của phương trình $- x^{2} + 8 x - 12 = - x + 6$ $\Leftrightarrow x^{2} - 9 x + 18 = 0 \Leftrightarrow x = 3$ hoặc $x = 6$ .

Thể tích của bình cổ là

$V = π 3 \int 6 [(- x^{2} + 8 x - 12)^{2}] d x + π 1 \int 3 (- x + 6)^{2} d x - π 1 \int 2 (x^{2} - 8 x + 12)^{2} d x$ $= \frac{153}{5} π + \frac{98}{3} π - \frac{113}{15} π = \frac{836}{15} π$ .