Đề thi Toán ĐGNL Đại học Sư phạm Hà Nội 2025 có đáp án

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có hai trạm phát sóng wifi với ranh giới vùng phủ sông của trạm thứ nhất, trạm thứ hai lần lượt cho bởi các mặt cầu

$$\left(S_1\right):{\left(x-5\right)}^2+{\left(y+6\right)}^2+{\left(z-15\right)}^2=22725;\left(S_2\right):{\left(x-1005\right)}^2+{\left(y-219\right)}^2+{\left(z-15\right)}^2=22725.$$

Coi mặt đất là một phần của mặt phẳng tọa độ (Oxy), đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là mét.

a) Phần phủ sóng trên mặt đất của trạm thứ nhất là hình tròn (C1) có bán kính bằng 150 m.

b) Phần phủ sóng trên mặt đất của trạm thứ hai là hình tròn (C2) có bản kính bằng 150 m. c) Khoảng cách giữa tâm của hình tròn (C1) và tâm của hình tròn (C2) bằng 1020 m.

d) Giả sử có một thiết bị (coi như một điểm) di chuyển trên mặt đất với tốc độ 1,5 m/giây. Thời gian ít nhất cần phải có để thiết bị đó di chuyển trên mặt đất từ một vị trí thuộc vùng phủ sóng của trạm thứ nhất đến một vị trí thuộc vùng phủ sóng của trạm thứ hai là 480 giây.

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở từng câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Người ta mô phỏng cách chế tạo một chi tiết máy như sau: Vẽ nửa đường tròn đường kính AB = 6 cm và một dây cung CD song song với AB. Quay hình thang ABDC quanh đường thẳng AB để tạo thành chi tiết máy. có dạng khối tròn xoay.

$a^2+b^2=36$. b) Phương trình đường thẳng BD là $$y=\frac{b}{a-3}\left(x-3\right).$$ c) Thể tích chi tiết máy là $$V=\pi \left(\underset{0}{\overset{a}{\int }}{b}^{2}dx+\underset{a}{\overset{3}{\int }}\frac{b^2}{{\left(a-3\right)}^2}{\left(x-3\right)}^{2}dx\right)\left(c{m}^3\right).$$ d) Khi dây cung CD thay đổi, giá trị lớn nhất của thể tích chi tiết máy nhỏ hơn 85 cm3. (ảnh 1)">

Xét hệ tọa độ Oxy với O là trung điểm của đoạn thẳng AB (như hình minh họa bên), đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là centimét. Giả sử D(a;b) với 0 < a < 3.

a) Ta có $$a^2+b^2=36$$.

b) Phương trình đường thẳng BD là $$y=\frac{b}{a-3}\left(x-3\right).$$

c) Thể tích chi tiết máy là $$V=\pi \left(\underset{0}{\overset{a}{\int }}{b}^{2}dx+\underset{a}{\overset{3}{\int }}\frac{b^2}{{\left(a-3\right)}^2}{\left(x-3\right)}^{2}dx\right)\left(c{m}^3\right).$$

d) Khi dây cung CD thay đổi, giá trị lớn nhất của thể tích chi tiết máy nhỏ hơn 85 cm³.

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và đồ thị hàm số y = f '(x) được cho bởi hình bên.

$f^{\prime }\left(x\right)>x+2,\forall x\in \left(-2;0\right)$và $$f^{\prime }\left(x\right)<x+2,\forall x\in \left(0;1\right)\cup \left(1;3\right)$$. Xét hàm số $$g\left(x\right)=2f\left(x\right)-{\left(x+2\right)}^2,x\in \left[-2;3\right]$$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) trên đoạn [-2;3], biết rằng f(−2) = 1. (ảnh 1)">

Giả sử $$f^{\prime }\left(x\right)>x+2,\forall x\in \left(-2;0\right)$$và $$f^{\prime }\left(x\right)<x+2,\forall x\in \left(0;1\right)\cup \left(1;3\right)$$.

Xét hàm số $$g\left(x\right)=2f\left(x\right)-{\left(x+2\right)}^2,x\in \left[-2;3\right]$$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) trên đoạn [-2;3], biết rằng f(−2) = 1.