Đề ôn thi Đánh giá năng lực Đại học Sư phạm Hà Nội môn Toán có đáp án - Đề số 5

25 câu · Luyện từng phần ĐGNL ĐH Sư phạm Hà Nội

3/25 câu đang cập nhật đáp án (ghi rõ ở từng câu), chưa tính điểm; điểm tính trên 22 câu còn lại.

Câu 1

Phần I (4 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 16. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ chọn một phương án. Đối với mỗi câu trả lời đúng, thí sinh được 0,25 điểm.

Số nghiệm của phương trình $lo g_{2} (x - 1) + lo g_{2} (x - 3) = 3$ là

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 2

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = x^{2} - 2 x, y = - 2 x^{2} + 2 x

và hai đường thẳng

x = 0, x = 1

là

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 3

Tất cả các nghiệm của phương trình

sin 3 x = \frac{1}{2}

là

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 4

Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{x + c}$ có đồ thị như hình sau đây.

$Ta có \({\rm{sin}}3x = \frac{1}{2} (ảnh 1)$

Tính giá trị của biểu thức $P = 2{\rm{a}} - b + 3c$ ta được kết quả là

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 5

Trong không gian với hệ tọa độ

O x y z

, cho tam giác

A B C

có phương trình đường phân giác trong góc

A

là:

\frac{x}{1} = \frac{y - 6}{- 4} = \frac{z - 6}{- 3}

. Biết rằng điểm

M (0; 5; 3)

thuộc đường thẳng

A B

và điểm

N (1; 1; 0)

thuộc đường thẳng

A C

. Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng

A C

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 6

Cho kết quả khảo sát về độ tuổi kết hôn của phụ nữ khu vực A như sau:

Tuổi kết hôn	$[19; 22)$	$[22; 25)$	$[25; 28)$	$[28; 31)$	$[31; 34)$
Số phụ nữ	10	27	31	25	7

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 7

Cho hình lập phương có tổng diện tích các mặt bằng

12 a^{2}

. Tính theo

a

thể tích khối lập phương đó ta được kết quả là

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 8

Cho cấp số cộng

(u_{n})

, biết

u_{2} = 3

và

u_{4} = 7

. Giá trị của

u_{15}

bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 9

Thời gian (phút) để học sinh hoàn thành một câu hỏi thi được cho như sau:

Thời gian (phút) để học sinh hoàn thành một câu hỏi thi được cho như sau: Mốt (đơn vị: phút) của mẫu số liệu trên gần nhất số nào sau đây? (ảnh 1)

Mốt (đơn vị: phút) của mẫu số liệu trên gần nhất số nào sau đây?

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 10

Cho

X

và

Y

là hai biến cố độc lập. Biết xác suất của biến cố

X

là

0, 3

và xác suất của biến cố

Y

là

0, 5

. Khi đó xác suất của biến cố

X \cup Y

bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 11

Trong không gian

O x y z

, cho điểm

M (- 1; 1; - 3)

và mặt phẳng

(P) : 2 x - y + 2 z + 3 = 0

. Khoảng cách từ điểm

M

đến mặt phẳng

(P)

bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 12

Cho hàm số

y = f (x)

liên tục trên

[- 2; 2]

. Biết

F (x)

là một nguyên hàm của

f (x)

và

F (2) - F (- 2) = 5

. Giá trị của tích phân

- 2 \int 2 [f (x) - 2 x + 1] d x

bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 13

Một mặt cầu

(S)

có tâm là

I (1; - 2; 3)

tiếp xúc với trục tung thì có bán kính

R

bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 14

Gọi

(H)

là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = x^{2},

trục hoành, trục tung và

x = 1.

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng

(H)

quanh trục

O x .

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 15

Cho hai biến cố

A

và

B

, với

P (A) = 0, 6

P (B) = 0, 7

P (A \cap B) = 0, 3

. Tính

P (B ˉ ∣ A)

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 16

Cho

F (x)

là một nguyên hàm của hàm số

f (x) = \frac{1}{2 x - 3}

; biết

F (2) = 1

. Giá trị

F (3)

bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 17

Phần II (2 điểm). Thí sinh trả lời câu 1, câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số $f (x) = ln x - 2 x^{2}$ , $\forall x \in (0; + \infty)$ .

a)
Hàm số trên luôn đồng biến trên tập xác định.
b)
$f (1) = - 2; f (e^{2}) = 2 - 2 e^{4} .$
c)
Hàm số $y = f (x)$ có hai điểm cực trị.
d)
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[1; e^{2}]$ là $- \frac{5}{2} - ln 2.$

Đáp án và lời giải

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai

Câu 18

Một người thợ mộc có một khối gỗ hình hộp chữ nhật $O A B C . G D E F$ có kích thước $O A = O G = 30$ (cm) và $O C = 60$ (cm). Gắn hệ trục toạ độ $O x y z$ như hình vẽ dưới (1 đơn vị trên trục toạ độ tương ứng 10 cm). Người thợ có ý định khoan khối gỗ tại điểm $M$ là trọng tâm của tam giác $D GF$ và tiến hành khoan theo hướng của vectơ $F A$ .

$a) Sai. Ta có \(y$

a)
Toạ độ vectơ $F A$ là $(3; 6; 3) .$
b)
Toạ độ điểm $M$ là $(1; 2; 3) .$
c)
Mũi khoan luôn nằm trên đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z - 3}{- 1} .$
d)
Để khoan thủng khối gỗ người đó phải dùng mũi khoan có chiều dài tối thiểu là 73 (cm) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Đáp án và lời giải

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Sai

Câu 19

Phần III (1 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày suy luận. Đối với mỗi câu trả lời đúng, thí sinh được 0,25 điểm.

Cân nặng của một số quả mít trong một khu vườn được thống kê ở bảng sau:

Cân nặng của một số quả mít trong một khu vườn được thống kê ở bảng sau: Hãy tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). (ảnh 1)

Hãy tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

_____

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 20

Hộp thứ nhất chứa $5$ viên bi trắng và $4$ viên bi xanh. Hộp thứ hai chứa $7$ viên bi trắng và $5$ viên bi xanh. Người ta lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ 2 rồi sau đó từ hộp thứ hai lấy ngẫu nhiên ra hai viên bi. Tính xác suất để hai viên bi lấy được từ hộp thứ hai là hai viên bi trắng.

________

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 21

Một phân xưởng sản xuất bóng đèn có tỉ lệ bóng đạt chuẩn là $95 %$ . Để hạn chế số lượng bóng không đạt chuẩn được bán ra thị trường, người ta lắp đặt một thiết bị kiểm tra chất lượng tự động S. Nếu một bóng đèn không đạt chuẩn, thiết bị S sẽ loại bỏ nó với xác suất 0,99. Khi kiểm tra lại các bóng đèn bị loại, người ta nhận thấy có $10 %$ số đó là bóng đạt chuẩn. Chọn ngẫu nhiên 1 bóng đèn do phân xưởng đó sản xuất. Tính xác suất bóng đèn được chọn đạt chuẩn biết rằng nó không bị thiết bị S loại bỏ.

__________

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 22

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 23

Câu tự luận

Phần IV (3 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 5 đến câu 7. Đối với mỗi câu, thí sinh viết quá trình và kết quả suy luận.

(1 điểm). Giải phương trình: $2^{x^{2} + x} - 4 \cdot 2^{x^{2} - x} - 2^{2 x} + 4 = 0$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Ta có: $2^{x^{2} + x} - 4 \cdot 2^{x^{2} - x} - 2^{2 x} + 4 = 0 \Leftrightarrow 2^{x^{2} - x} \cdot 2^{2 x} - 4 \cdot 2^{x^{2} - x} - 2^{2 x} + 4 = 0$

$\Leftrightarrow 2^{x^{2} - x} \cdot (2^{2 x} - 4) - (2^{2 x} - 4) = 0 \Leftrightarrow (2^{2 x} - 4) (2^{x^{2} - x} - 1) = 0$

$\Leftrightarrow [2^{2 x} = 4 2^{x^{2} - x} = 1 \Leftrightarrow [2 x = 2 x^{2} - x = 0 \Leftrightarrow [x = 1 x = 0 .$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là $S = {0; 1}$ .

Câu 24

Câu tự luận

(1 điểm). Cho hình hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có $A B = B C = a$ và $C C^{'} = 2 a$ . Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $B C$ và $A A^{'}$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $B^{'} D^{'}$ và $M N$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

$Ta có: \[{2^{{x^2} + x}} - (ảnh 1)$

Gọi $P$ là trung điểm $C D$ , $I = M P \cap A D$ , $J = I N \cap D D^{'}$ , $K = A C \cap M P$ .

Ta có \[MP{\rm{//}}BD \Rightarrow MP{\rm{//}}B'D' \Rightarrow d\left( {B'D',MN} \right) = d\left( {B'D',\left( {MNP} \right)} \right) = d\left( {D',\left( {MNP} \right)} \right)\].

Lại có $d (D^{'}, (M N P)) = \frac{D ^{'} J}{D J} d (D, (M N P)) = 5 d (D, (M N P))$ .

Mặt khác $d (D, (M N P)) = \frac{D I}{A I} d (A, (M N P)) = \frac{1}{3} d (A, (M N P))$ .

Dễ thấy ${\begin{matrix} (N A K) ⊥ (M N P) \\ (N A K) \cap (M N P) = N K \\ A H ⊥ N K (H \in N K) trong (N A K) \end{matrix} \Rightarrow A H ⊥ (M N P) \Rightarrow d (A, (M N P)) = A H$

Suy ra $d (M N, B^{'} D^{'}) = \frac{5}{3} d (A, (M N P)) = \frac{5}{3} A H$ với $A N = \frac{A A ^{'}}{2} = a$ ; $A K = \frac{3}{4} 2 A B = \frac{3 a 2}{4}$ .

Vậy $d (M N, B^{'} D^{'}) = \frac{5}{3} A H = \frac{5}{3} \cdot \frac{A N \cdot A K}{A N ^{2} + A K ^{2}} = \frac{5}{3} \cdot \frac{\frac{3 a 2}{4} \cdot a}{( \frac{3 a 2}{4} ) ^{2} + a ^{2}} = \frac{5 a 17}{17}$ .

Câu 25

Câu tự luận

(1 điểm). Một cái cổng hình parabol như hình vẽ sau:

$Chiều cao \(GH = 4\,{\rm{m}} (ảnh 1)$

Chiều cao $GH = 4\,{\rm{m}}$, chiều rộng $A B = 4 m$ , $A C = B D = 0, 9 m$ . Chủ nhà làm hai cánh cổng nhựa lõi thép UPVC, khi đóng lại là hình chữ nhật $C D E F$ tô đậm có giá là $1500000$ đồng $/ m^{2}$ , còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là $1000000$ đồng $/ m^{2}$ . Tính tổng số tiền để làm hai phần nói trên.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

$Chiều cao \(GH = 4\,{\rm{m}} (ảnh 2)$

Đặt hệ trục $Oxy$ như hình vẽ.

Gọi phương trình parabol có dạng $(P) : y = a x^{2} + b x + c$ .

$(P)$ có đỉnh $G (0; 4)$ và đi qua $B (2; 0)$ suy ra: $a = - 1; b = 0; c = 4$ $\Rightarrow (P) : y = - x^{2} + 4$ .

Ta có: $x_{E} = x_{D} = 1, 1 \Rightarrow y_{E} = - 1, 1^{2} + 4 = 2, 79$ $\Rightarrow E D = 2, 79$ .

Do đó, $S_{C D E F} = C D \cdot D F = 2, 2 \cdot 2, 79 = 6, 138 (m^{2})$ .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P)$ và trục hoành là: $S_{(P)} = - 2 \int 2 (- x^{2} + 4) d x = \frac{32}{3} (m^{2})$ .

Suy ra diện tích làm xiên hoa là: $S = S_{(P)} - S_{C D E F} = \frac{6793}{1500} (m^{2})$ .

Đổi đơn vị: $1500000$ đồng $/ m^{2}$ $= 1, 5$ triệu đồng $/ m^{2}$ , $1000000$ đồng $/ m^{2}$ $= 1$ triệu đồng $/ m^{2}$ .

Tổng số tiền để làm hai phần nói trên là: $T = 6, 138 \cdot 1, 5 + \frac{6793}{1500} \cdot 1 \approx 13, 74$ (triệu đồng).