Đề thi Đánh giá năng lực Bộ Quốc phòng phần Toán học và xử lý số liệu (có đáp án) - Đề số 7

Trong một thí nghiệm, một quả cầu được gắn vào một đầu dây đàn hồi, đầu kia của sợi đây được gắn cố định vào một thanh treo nằm ngang. Sau khi quả cầu được kéo xuống và thả ra, nó bắt đầu di chuyển lên xuống. Khi đó, chiều cao $h\left(cm\right)$ của quả cầu so với mặt đất theo thời gian $t$ (giây) được cho bởi công thức $h=100-30\cos 20t$. Tính thời điểm đầu tiên mà quả cầu đạt chiều cao cao nhất kể từ khi quả cầu được thả ra (nhập đáp án vào ô trống, đơn vị: giây, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

_____

Anh Nam được nhận vào làm việc ở một công ty về công nghệ với mức lương khởi điểm là 100 triệu đồng một năm. Công ty sẽ tăng thêm lương cho anh Nam mỗi năm là 20 triệu đồng. Tính tổng số tiền lương mà anh Nam nhận được sau 10 năm làm việc cho công ty đó (nhập đáp án vào ô trống, đơn vị: trăm triệu đồng).

___

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $a$ để bất phương trình $\ln \left(2{\mathrm{x}}^2+3\right)>\ln \left(x^2+ax+1\right)$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm cấp hai trên $\mathbb{R}$. Biết $f^{\prime }\left(0\right)=3,f^{\prime }\left(2\right)=-2018$ và bảng xét dấu của $f^{\prime \prime }\left(x\right)$ như sau:

Hàm số \(y = f\left( {x + 2017} \right) + 2018x\) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm $x_0$ thuộc khoảng nào sau đây?

Cho hàm số $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\left(x^2-2\right)\left(2x+1\right)$ và $F\left(-1\right)=\frac{1}{6}$. Tính $F\left(-\frac{1}{2}\right)$ (nhập đáp án vào ô trống, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

_____

Cho hàm số $y=\frac{x^2+4x+16}{x}$. Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng (nhập đáp án vào ô trống):

__

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị như hình vẽ.

Hỏi phương trình $f\left[2-f\left(x\right)\right]=1$ có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Tính khoảng cách $AB$ giữa nóc hai toà cao ốc. Cho biết khoảng cách từ hai điểm đó đến một vệ tinh viễn thông lần lượt là $360km,340km$ và góc nhìn từ vệ tinh đến $A$ và $B$ là $13,2^{\circ }$ như hình dưới (nhập đáp án vào ô trống, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của kilômét).

___

Cho $y=f\left(x\right)$ là hàm số đa thức bậc ba có đồ thị như hình vẽ.

AB giữa nóc hai t (ảnh 1)">

Diện tích hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ trên bằng:

Trong cuộc thi 2 môn phối hợp gồm chèo thuyền và chạy bộ. Các vận động viên sẽ chèo thuyền từ điểm xuất phát $A$cách bờ $BC$ một khoảng $6km$, sau đó đến bờ tại một vị trí $D$ bất kì rồi chạy về đích $C$ (xem hình minh họa). Biết rằng quãng đường trên bờ $BC=15km$, vận tốc chèo thuyền của một vận động viên $X$ là $8km/h$ và vận tốc chạy trên bờ là $16km/h$.

Hỏi $X$ nên chèo thuyền về bờ tại vị trí $D$ cách đích $C$ là bao nhiêu kilômét để tổng thời gian về đích là sớm nhất (nhập đán án vào ô trống, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

______

Biết $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^2\frac{x}{4}{\cos }^2\frac{x}{4}dx=\frac{\pi }{c}-\frac{a}{b}$  với $a,b\in \mathbb{Z}$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức $P=a+b+c$ (nhập đáp án vào ô trống).

___

Trong không gian $$Oxyz$$, phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng $$\left(d\right):\{\begin{array}{l}x=t+2\\ y=3t-1\\ z=2t+1\end{array}$$ và $$\left(\Delta \right):\{\begin{array}{l}x=m+3\\ y=3m-2\\ z=2m+1\end{array}$$ có dạng $$x+ay+bz+c=0$$. Tính $$P=a+2b+3c$$ (nhập đáp án vào ô trống).

__

Cho bảng số liệu thống kê chiều cao (đơn vị: cm) của một nhóm học sinh như sau:

Tìm số trung vị của mẫu số liệu nói trên (nhập đáp án vào ô trống).

____

An tìm hiểu hàm lượng chất béo (đơn vị: gam) có trong 100 gam mỗi loại thực phẩm. Sau khi thu thập dữ liệu về 60 loại thực phẩm, An lập được bảng thống kê như sau:

Xác định giá trị trung bình của mẫu số liệu trên (nhập đáp án vào ô trống, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

______

Ghi lại tốc độ (đơn vị: km/h) trong 200 lần giao bóng của một vận động viên môn quần vợt cho kết quả như bảng sau:

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là:

Cho hai biến cố ngẫu nhiên $A$ và $B$. Biết rằng $\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\mid \mathrm{B}\right)=2\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\mid \mathrm{A}\right)$ và $\mathrm{P}\left(\mathrm{AB}\right)\ne 0$. Tính tỉ số $\frac{P\left(A\right)}{P\left(B\right)}$ (nhập đáp án vào ô trống).

__

Người ta khảo sát khả năng chơi nhạc cụ của một nhóm học sinh tại trường $X$. Nhóm này có $60\%$ học sinh là nam. Kết quả khảo sát cho thấy có $20\%$ học sinh nam và $15\%$ học sinh nữ biết chơi ít nhất một nhạc cụ. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm này. Tính xác suất để chọn được học sinh biết chơi ít nhất một nhạc cụ (nhập đáp án vào ô trống, viết kết quả dưới dạng số thập phân).

_____

Tại một cuộc thi có $$300$$ thí sinh. Biết rằng, hai thí sinh bất kì hoặc quen nhau hoặc không quen nhau, và không có ba thí sinh nào đôi một quen nhau. Xác định giá trị lớn nhất của $$n$$ (nhập đáp án vào ô trống) sao cho các điều kiện sau đây thỏa mãn:

• Mỗi thí sinh quen tối đa $$n$$ thí sinh khác và có ít nhất một thí sinh quen đúng $$n$$ thí sinh khác.

• Với mọi số nguyên dương $$m$$ mà $$1\le m\le n$$, tồn tại ít nhất $$1$$ thí sinh quen đúng $$m$$ thí sinh khác.

____

Cho biết kim tự tháp Memphis tại bang Tennessee (Mỹ) có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao $98\mathrm{m}$ và cạnh đáy $180\mathrm{m}$. Tính số đo góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy.