Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội phần Toán có đáp án - Đề số 18

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $O$,$O^{\prime }$ lần lượt là tâm 2 đáy $\left(ABCD\right)$ và $\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }\right)$. Gọi $m,n$ là hai số thực thỏa mãn đẳng thức $\overrightarrow{A{O}^{\prime }}=m\overrightarrow{DB}+n\overrightarrow{C^{\prime }B}$. Tính tổng $m+n$ (nhập đáp án vào ô trống).

_____

Xác định hệ số của $x^6$ trong khai triển ${\left(x^4-\frac{1}{x^3}\right)}^n$ biết $n$ là nghiệm của phương trình: $C_n^0+2C_n^1+2^2{C}_n^2+\dots 2^n\cdot C_n^n=243$ (nhập đáp án vào ô trống).

___

Cho hàm số $f(x)={\log }_2\left(x^2+1\right)$. Khi đó $f^{\prime }(1)$ bằng

Hai quần thể sinh vật $A$ và $B$ sinh trưởng tuân theo quy luật sau: quần thể $A$ có kích thước $A\left(t\right)=12^t$, quần thể $B$ có kích thước $B\left(t\right)=3^{2t+1}$, với $t$ là số ngày được tính từ ngày bắt đầu quan sát. Sau bao nhiêu ngày kể từ ngày bắt đầu quan sát thì kích thước của hai quần thể này bằng nhau (nhập đáp án vào ô trống, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

__

Cho các cấp số cộng $\left(u_n\right):\{\begin{array}{l}{u}_1=4\\ u_{n+1}=u_n+3\end{array}$ và $\left(v_n\right):\{\begin{array}{l}{v}_1=1\\ v_{n+1}=v_n+5\end{array}$. Có bao nhiêu số $m$ bé hơn 2025 sao cho $m$ vừa là số hạng của $\left(u_n\right)$, vừa là số hạng của $\left(v_n\right)$?

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $SD$ và $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $BM$ và mặt phẳng $\left(ABCD\right)$. Tính tan $\alpha$ (nhập đáp án vào ô trống).

_____

Cho hai biến cố $A$ và $B$, với $P(A)=0,6,P(B)=0,7,P(A\cap B)=0,3$. Tính $P(\bar{B}\mid A)$.

Cho hàm số $y=x^3+\left(1-2m\right)x^2+2\left(2-m\right)x+4$. Với giá trị nào của tham số $m$ thì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành?

Cho hàm số $y=\cos 3x\cdot \sin 2x$. Tính $y^{\prime }\left(\frac{\pi }{3}\right)$ (nhập đáp án vào ô trống).

__

Trong không gian Oxyz, xét mặt cầu (S) có phương trình dạng $x^2+y^2+z^2-4x+2y-2az+10a=0$. Tập hợp các giá trị thực của a để (S) có chu vi đường tròn lớn bằng $8\pi$ là:

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P\left(A\right)>0,P\left(B\right)>0$. Cho các khẳng định sau:

(1) $P\left(A\cap B\right)+P\left(A\cap \overline{B}\right)=P\left(A\right)$.

(2) $P\left(B\mid A\right)=\frac{P\left(B\right)\cdot P\left(A\mid B\right)}{P\left(A\right)}$.

(3) $P\left(B\mid A\right)=\frac{P\left(B\right)\cdot P\left(A\mid B\right)}{P\left(B\right)\cdot P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right)\cdot P\left(A\mid \overline{B}\right)}$.

(4) $P\left(A\right)=P\left(A\cap B\right)+P\left(A\cap \overline{B}\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right)\cdot P\left(A\mid \overline{B}\right)$.

(5) Cho hai biến cố $A$ và $B$, với $P\left(B\right)=0,8,P\left(A\mid B\right)=0,7,P\left(A\mid \overline{B}\right)=0,45$. Khi đó $P\left(A\right)=0,5$.

Trong các khẳng định trên có bao nhiêu khẳng định đúng (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu ($S$) có tâm $I\left(1;1;-1\right)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left(P\right):2x-2y-z+3=0$. Bán kính của mặt cầu $\left(S\right)$ là

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{\cos x-3}{\cos x-m}$ nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-2}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{4}$ và mặt cầu $\left(S\right)$ có phương trình $x^2+y^2+z^2-2x-4y-2z+4=0$. Hai mặt phẳng $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$ chứa $d$ và tiếp xúc với $\left(S\right)$. Gọi $M,N$ là tiếp điểm. $H\left(a;b;c\right)$ là trung điểm của $MN$. Khi đó $a+b+2c$ bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Tính $\lim \frac{{2025}^{n+1}+3\cdot {2024}^n}{{45}^{2n}-2026\cdot {2024}^{n+1}}$ (nhập đáp án vào ô trống).

_____

Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật , trong đó (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, được tính theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc (m/p) của khí cầu là

__

Nếu $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(2f\left(x\right)+1\right)dx=5$ thì $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$  bằng? (Nhập đáp án vào ô trống)

____

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $M\left(3;-1;2\right)$ và $N\left(-1;2;1\right)$. Viết phương trình đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua $M$, song song với mặt phẳng $\left(P\right):2x-2y+z-5=0$ sao cho khoảng cách từ $N$ đến $\mathrm{\Delta }$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Một bãi cỏ lớn lên từng ngày với tốc độ không đổi. Biết rằng, với 200 con cừu sẽ ăn hết bãi cỏ trong 100 ngày và với 150 con cừu sẽ ăn hết bãi cỏ trong 150 ngày. Tốc độ ăn của mỗi con cừu là như nhau. Hỏi với 100 con cừu thì sẽ ăn hết bãi cỏ đó trong bao nhiêu ngày (nhập đáp án vào ô trống)?

____