Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội phần Toán có đáp án - Đề số 20

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^3+3x^2-6x+1$ tại điểm có hoành độ bằng 1 và cắt hai trục tọa độ tại $A,B$. Tính diện tích tam giác $OAB$ (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

_____

Mặt phẳng song song với mặt phẳng $\left(Oyz\right)$ và đi qua điểm $K\left(4;5;7\right)$ có phương trình

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ không lớn hơn 10 để hàm số: $y=\left|x^3-3x^2+m-4\right|$ đồng biến trên khoảng $\left(3;+\infty \right)$(nhập đáp án vào ô trống)?

__

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F\left(x;y\right)=x-2y$, với điều kiện $\{\begin{array}{c}0\le y\le 5\\ x\ge 0\\ x+y-2\ge 0\\ x-y-2\le 0\end{array}$ là (nhập đáp án vào ô trống).

____

Cho hàm số $f\left(x\right)$ thoả mãn ${\int }^f\left(x\right)dx=e^{2x}+C$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho biểu thức $P=\sqrt[4]{x^2\sqrt[3]{x}}(x>0)$. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề đúng là

Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc $v_1\left(t\right)=7t\left(m/s\right)$. Đi được 5 giây, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a=-70\left(m/{\mathrm{s}}^2\right)$. Tính quãng đường $S(m)$ đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

_____

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, gọi $O$ là tâm đáy và $SO=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Gọi $I$ là trung điểm của $BC$. Tính khoảng cách từ $O$ đến $SA$.

Trong không gian $Oxyz$ cho mặt cầu $\left(S\right):(x-1{)}^2+(y+1{)}^2+(z-3{)}^2=16$ và mặt phẳng $\left(P\right):x-2y+2z-15=0$. Gọi $O$ là tâm đường tròn giao tuyến của mặt cầu $\left(S\right)$ và mặt phẳng $\left(P\right)$. Xác định tọa độ tâm tọa độ tâm $O$ và bán kính đường tròn giao tuyến của mặt cầu $\left(S\right)$ và mặt phẳng $\left(P\right)$.

Cho hàm số: $y=x^3-3x^2+3\left(1-m^2\right)x+1$. Có bao nhiêu số nguyên $m\in \left[1;2024\right]$ để hàm số có hai điểm cực trị (nhập đáp án vào ô trống)?

_____

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left(P\right):x+y-2z-1=0$ và điểm $A\left(4;1;2\right)$. Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A$ cắt mặt phẳng $\left(P\right)$ tại $B$, cắt trục $Oy$ tại $C$ sao cho $B$ là trung điểm của $AC$. Một điểm thuộc đường thẳng $d$ có hoành độ bằng $-4$ thì cao độ điểm đó là (nhập đáp án vào ô trống).

____

Một máy bay gồm 4 động cơ quan trọng ảnh hưởng đến sự an toàn của chuyến bay. Xác suất để mỗi động cơ đó gặp sự cố khi bay là 0,05. Máy bay thực hiện chuyến bay an toàn nếu có nhiều nhất một trong 4 động cơ gặp sự cố. Xác suất để máy bay thực hiện chuyến bay an toàn là?

Gọi $F\left(t\right)$ là số lượng vi khuẩn phát triển sau $t$ giờ. Biết $F\left(t\right)$ thỏa mãn $F^{\prime }\left(t\right)=\frac{10000}{1+2t}$ với $t\ge 0$ và ban đầu có 1000 con vi khuẩn. Hỏi sau $2$ giờ số lượng vi khuẩn là bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

_____

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình ${\log }_2^2\left(2x\right)-2\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_2\left(x^2\right)+m-1=0$ có nghiệm, trong đó có đúng một nghiệm thuộc đoạn $\left[\frac{1}{2};16\right]$ (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Khi nghiên cứu về quá trình tăng trưởng của các quần thể sinh vật trong điều kiện môi trường hạn chế, các nhà khoa học chỉ ra đặc điểm chung nổi bật như sau: Ban đầu số lượng cá thể tăng trưởng chậm, sau đó nhanh và cuối cùng khi thời gian đủ dài, số lượng cá thể của quần thể đạt trạng thái cân bằng. Số lượng cá thể theo thời gian (t ngày) được mô hình hóa và xấp xỉ theo hàm số: $N\left(t\right)=15320\left(2-\frac{1}{2}{e}^{-0,6t}\right)$. Khi quần thể ở trạng thái cân bằng, số cá thể của quần thể gần nhất với giá trị nào sau đây?

Cho hai điểm $P\left(1;6\right),Q\left(-3;-4\right)$ và đường thẳng $\mathrm{\Delta }:2x-y-1=0$. Gọi $M\in \mathrm{\Delta }$ là điểm sao cho $MP+MQ$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tung độ của điểm $M$ (nhập đáp án vào ô trống).

____

Cho $\underset{x\to 2}{\text{lim}}\frac{\sqrt{2a{x}^2+30}-bx-5}{x^3-5x^2+8x-4}=c$ với $a,b,c\in \mathbb{R}$. Tính giá trị $P=a+b+c$ (nhập đáp án vào ô trống, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

_____

Tập nghiệm của bất phương trình $3^{x^2-13}<27$ là:

Một vật dao động điều hòa có phương trình li độ là $x=10\cos \left(2\pi t\right)\left(\mathrm{cm}\right)$. Biết vận tốc của vật tại thời điểm $t=\frac{11}{12}\left(\mathrm{s}\right)$ là $k\pi$. Tính giá trị của $k$ (nhập đáp án vào ô trống).

___

Khách du lịch khi đến Vịnh Hạ Long thường sẽ tham quan các hang động đẹp nổi tiếng nơi đây như: động Thiên Cung, động Kim Quy, hang Đầu Gỗ... Thống kê cho thấy, tỉ lệ du khách đến tham quan động Thiên Cung là 0,7; tỉ lệ du khách đến tham quan động Kim Quy là 0,5; tỉ lệ du khách không đến tham quan cả hai động trên là 0,1. Chọn ngẫu nhiên một du khách tham quan. Xác suất để người này tham quan cả động Thiên Cung lẫn động Kim Quy là

Một học sinh làm 2 bài tập kế tiếp. Xác suất làm đúng bài thứ nhất là 0,6. Xác suất làm đúng bài thứ hai là 0,5. Nếu làm đúng bài thứ nhất thì khả năng làm đúng bài thứ hai là 0,8. Tính xác suất học sinh đó làm sai bài thứ nhất, biết rằng đã làm đúng bài thứ hai.

Một hội trường có hàng ghế đầu kí hiệu là dãy $A$ là 30 ghế, sau dãy $A$ là dãy $B$ là 32 ghế, và như thế hàng sau sẽ nhiều hơn hàng trước 2 ghế. Biết hàng cuối cùng có 62 ghế. Gọi $m$ là tổng số dãy ghế, $p$ là tổng số ghế. Tính $m+p$ (nhập đáp án vào ô trống).

____

Xác định độ dài tiêu cự của elip $\left(E\right)$ có phương trình: $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{7}=1$ (nhập đáp án vào ô trống).

__

Biết $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình ${\left(3+\sqrt{5}\right)}^x+{\left(3-\sqrt{5}\right)}^x=3\cdot 2^x$. Tính giá trị của biểu thức $T=x_1^2+x_2^2$. (nhập đáp án vào ô trống).

__

Thỏ và Rùa cùng thi chạy trên một chặng đường có cự li 10 km. Tốc độ của Thỏ gấp 5 lần tốc độ của Rùa. Vì bản tính kiêu căng và coi thường đối thủ, chỉ vừa mới chạy được một lúc Thỏ đã lăn ra ngủ thiếp đi. Khi tỉnh dậy, Thỏ nhận ra Rùa đã quá gần vạch đích nên cuống cuồng vắt chân lên cổ mà chạy. Tuy nhiên, Thỏ đã thua cuộc bởi Rùa vừa về đến đích trong khi Thỏ vẫn còn cách vạch đích 200 m. Thỏ băn khoăn mãi, không biết trong lúc mình ngủ Rùa đã chạy được bao nhiêu mét? Hãy tính giúp Thỏ (nhập đáp án vào ô trống).

_____