Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội phần Toán có đáp án - Đề số 22

Cho hàm số $y=-x^3-6x^2+\left(4m-9\right)x+4$. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[-15;15\right]$ để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ (nhập đáp án vào ô trống).

_____

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left(2;7;5\right),B\left(3;6;4\right),C\left(1;8;2\right),D\left(4;3;2\right)$. Toạ độ điểm $M$ sao cho biểu thức $T=M{A}^2+M{B}^2-M{C}^2+2M{D}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất là $\left(a;b;c\right)$. Giá trị biểu thức $P=\frac{ab}{c}$ bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Biết $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=10$ và $\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx=5$. Tính tích phân $I=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[3f\left(x\right)-5g\left(x\right)\right]dx$(nhập đáp án vào ô trống).

__

Một vật ở trạng thái cân bằng khi hợp của tất cả các lực tác dụng lên vật được biểu diễn bởi vectơ không. Trong không gian Oxyz, biết rằng đang có ba lực biểu thị bởi ba vectơ ${\vec{F}}_1\left(10;-9;5\right),\overrightarrow{F_2}\left(1;5;10\right),\overrightarrow{F_3}\left(9;-8;-3\right)$ tác dụng lên một vật. Vectơ biểu thị lực $\overrightarrow{F_4}$ để khi tác dụng thêm lực này vào vật thì vật ở trạng thái cân bằng có tọa độ là ${\vec{F}}_4\left(a,b,c\right)$. Tính $S=a^2+b^2+c^2$(nhập đáp án vào ô trống).

____

Nhiệt độ (tính bằng${}^{\circ }\mathrm{C}$) tại thời điểm $t$ giờ trong khoảng từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa ở một địa phương nọ vào một ngày nào đó được cho bởi hàm số $T\left(t\right)=20+1,5\left(t-6\right),6\le t\le 12$. Nhiệt độ trung bình trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa ngày hôm đó là:

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left(4;-1;2\right)$ và $B\left(-4;2;3\right)$. Gọi $\left(P\right)$ là mặt phẳng chứa $Oy$ và đi qua $B$. Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left(P\right)$ là (nhập đáp án vào ô trống):

__

Phương sai chiều cao các học sinh trong lớp gần nhất với giá trị nào sau đây:

Tính xác suất để sinh viên đó là sinh viên giỏi (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

_____

Xác suất để sinh viên đó là sinh viên trung bình bằng (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

_____

Tìm số giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[-20;20\right]$ sao cho bất phương trình $\left(m+4\right)x^2-2mx+2m-6>0$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ (nhập đáp án vào ô trống).

___

Cho lưới ô vuông như hình vẽ.

Chỉ được phép đi theo hai hướng, đó là $\uparrow$ (lên) hoặc $\to$ (qua phải) dọc theo đường lưới, có bao nhiêu cách di chuyển từ $A$ đến $B$ mà không đi qua $P$ và $Q$ (nhập đáp án vào ô trống).

___

Một vật dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng $O$, có quỹ đạo là một đoạn thẳng trùng với trục $Ox$. Tọa độ $x$ của vật trên trục $Ox$ vào thời điểm $t$ (giây) được xác định bởi công thức $x=4\sin \left(2\pi t-\frac{\pi }{2}\right)\left(\mathrm{cm}\right)$. Từ thời điểm $t_1=2\left(\mathrm{s}\right)$ đến thời điểm $t_2=2,5\left(\mathrm{s}\right)$, thời điểm nào vật có tọa độ $x=-2\mathrm{cm}$(nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm, đơn vị: giây)?

_____

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^{\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{3}5}=9,b^{\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{4}6}=64,c^{\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{7}3}=49$. Tính giá trị biểu thức $T=a^{{\log }_3^{2}5}+b^{{\log }_4^{2}6}+3c^{{\log }_7^{2}3}$ (nhập đáp án vào ô trống).

____

Bất phương trình $\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_3\frac{x^2-9}{125}\le \mathrm{lo}{\mathrm{g}}_5\frac{x^2-9}{27}$ có bao nhiêu nghiệm có giá trị nguyên (nhập đáp án vào ô trống)?

____

Người ta tiến hành phỏng vấn 40 người về một mẫu áo sơ mi mới. Người điều tra yêu cầu cho điểm mẫu áo đó theo thang điểm là 100. Kết quả được trình bày trong bảng dưới đây:

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (nhập đáp án vào ô trống, kết quả cuối cùng làm tròn đến hàng đơn vị).

__

Một nhóm gồm có tổng cộng 20 học sinh, trong đó có 10 bạn giỏi Toán, 8 bạn giỏi Tiếng Anh, 4 bạn giỏi cả Toán và Tiếng Anh. Chọn ngẫu nhiên từ nhóm ra một bạn học sinh. Tính xác suất để học sinh được chọn không giỏi cả Toán lẫn Tiếng Anh (nhập đáp án vào ô trống).

____

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi tâm $O$ cạnh $a,\widehat{BAD}=135^{\circ }$. Biết $SA=2a$ và tạo với mặt phẳng đáy một góc $60^{\circ }$. Gọi $I$ là trung điểm của $SO,\left(P\right)$ là mặt phẳng đi qua $BI$ và song song với cạnh $AC,\left(P\right)$ chia hình chóp $S.ABCD$ thành hai phần. Biết thể tích của phần nhỏ hơn là $\frac{a^3\sqrt{m}}{n}$, với $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast };m+n<60$. Tính giá trị của biểu thức $T=\frac{n}{m^2}$(nhập đáp án vào ô trống).

__