Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội phần Toán có đáp án - Đề số 27

Huyết áp của con người thay đổi liên tục theo thời gian. Giả sử huyết áp tâm trương của anh Hùng trong một ngày được tính theo công thức $$B\left(t\right)=80+6\sin \left(\frac{\pi t}{12}\right)$$ trong đó $$t$$ là số giờ kể từ nửa đêm và $$B\left(t\right)\left(\mathrm{mmHg}\right)$$ là huyết áp tâm trương. Gọi $$x,y$$lần lượt là thời gian Anh Hùng có huyết tâm trương thấp nhất và cao nhất trong ngày. Tính $$2x-y$$(nhập đáp án vào ô trống).

___

Trong một cuộc thi IQ dành cho học sinh các cấp, ban tổ chức đã để robot xếp các khối lập phương n vị thành một hình khối mà khi nhìn, thí sinh chỉ được nhìn từ các góc nhìn được mô tả qua các hình vẽ và thông tin bên dưới. Thể tích lớn nhất của hình khối đó có thể là (nhập đáp án vào ô trống)?

___

Cho hình chóp $$S.ABC$$ có đáy $$ABC$$ là tam giác vuông tại $$B$$, $$AB=a$$, $AC=a\sqrt{3}$, $$SB<2a$$ và $\widehat{BAS}=\widehat{BCS}=90^{\circ }$. Biết sin của góc giữa đường thẳng $$SB$$ và mặt phẳng $$\left(SAC\right)$$ bằng $\frac{\sqrt{11}}{11}$. Thể tích của khối chóp$$S.ABC$$ bằng $\frac{a^3\sqrt{m}}{n}$ với $m,n$ là các số tự nhiên. Tính $m+n$ (nhập đáp án vào ô trống).

___

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua $A,B$ và $M$ là trung điểm của $SC$. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ chia khối chóp đã cho thành hai phần lần lượt có thể tích là $V_1,V_2$ trong đó $V_1<V_2$. Tính $\frac{V_1}{V_2}$.

Cho $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập. Biết $P\left(\overline{A}\right)=0,4$ và $P\left(B\right)=0,3$. Tính xác suất của biến cố $AB$.

Khảo sát 50 khách hàng trong một cửa hàng giày dép. Ta thống kê được số cỡ giày mà các khách hàng thường sử dụng như sau:

Trung vị của mẫu số liệu trên là 37,5, vậy x, y bằng bao nhiêu?

Cho hàm số $y=\frac{2x+m}{x-1}$. Tìm $m$ để $\underset{\left[-1;0\right]}{\max }y+\underset{\left[-1;0\right]}{\min }y=-5$(nhập đáp án vào ô trống).

__

Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi $h\left(t\right)$ là thể tích nước bơm được sau $t$ giây. Cho $h^{\prime }\left(t\right)=6a{t}^2+2bt$ và ban đầu bể không có nước. Sau 3 giây thì thể tích nước trong bể là $90{\mathrm{m}}^3$ và sau 6 giây thì thể tích nước trong bể là $504{\mathrm{m}}^3$. Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm được 9 giây (nhập đáp án vào ô trống).

_____

Một loại linh kiện do hai nhà máy $I,II$ cùng sản xuất. Tỉ lệ phế phẩm của nhà máy $I,II$ lần lượt là:$0,04;0,03$. Trong một lô linh kiện để lẫn lộn $80$ sản phẩm của nhà máy $I$ và $120$ sản phẩm của nhà máy $II$. Một khách hàng lấy ngẫu nhiên một linh kiện của lô hàng đó. Giả sử linh kiện được chọn là phế phẩm. Tính xác suất linh kiện này thuộc nhà máy $I$ (nhập đáp án vào ô trống, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

_____

Qua điều tra, các nhà phân tích kinh tế đã nhận định được rằng tốc độ tăng trưởng kinh tế (GDP) của một quốc gia $t$ năm tính từ đầu năm 2015 là $S^{\prime }\left(t\right)=30+\frac{1}{2}\sqrt{5+t}$ (tỷ USD/năm). Biết rằng GDP của quốc gia đó vào đầu năm 2015 là 100 tỷ USD. Hãy dự đoạn GDP của quốc gia đó vào đầu năm 2026(nhập đáp án vào ô trống, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của tỷ USD).

____

Cho hàm số bậc ba $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có bảng biến thiên như sau:

Với $m,n$ là các số nguyên thuộc đoạn $\left[-25;25\right]$. Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên $\left(m,n\right)$ để phương trình $f\left(\left|x+3\right|\right)=5$ có đúng 4 nghiệm phân biệt (nhập đáp án vào ô trống)?

___

Biết $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(x+\frac{2}{x}\right)dx=a+2\text{ln}b,a,b\in \mathbb{Z}$. Tính tổng $S=a+b$ (nhập đáp án vào ô trống).

__

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=4$. Có tất cả bao nhiêu điểm $M\left(a;b;c\right)$ ($a,b,c$ là các số nguyên) thuộc mặt phẳng ($Oxy$) sao cho tồn tại ít nhất hai tiếp tuyến của $\left(S\right)$ đi qua $M$ và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Tìm $m$ để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^3-m{x}^2+\left(2m-3\right)x-1$ đều có hệ số góc dương.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ thỏa mãn hàm số $y=f^{\prime }\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình bên dưới.

Tính giá trị của biểu thức $f\left(4\right)-f\left(-4\right)$ (nhập đáp án vào ô trống).

___

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left(3;1;-2\right)$ và $B\left(-1;5;4\right)$. Tìm tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$.

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left(1;2;1\right)$ và $B\left(2;3;4\right)$. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $\left(Oxy\right)$. Tính $\cos \alpha$.

Trong không gian $Oxyz$, có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để $x^2+y^2+z^2+2\left(m+2\right)x-2\left(m-1\right)z+3m^2-5=0$ là phương trình một mặt cầu (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Cho hàm số $f\left(x\right)$ trên $\mathbb{R}$, gọi $F\left(x\right),G\left(x\right)$ là hai nguyên hàm của $f\left(x\right)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F\left(8\right)+G\left(8\right)=11$ và $F\left(2\right)+G\left(2\right)=5$. Khi đó $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(3x-1\right)dx$ bằng(nhập đáp án vào ô trống).

__

Câu lạc bộ thể thao của một trường có 40 bạn đều biết chơi ít nhất một trong hai môn là bóng đá và bóng rổ, trong đó có 27 bạn biết chơi bóng đá, 25 bạn biết chơi bóng rổ. Chọn ngẫu nhiên 1 bạn. Xác suất chọn được bạn biết chơi bóng đá biết bạn đó chơi được bóng rổ là bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

_____